11.6 Determinação de solução particular através da transformada de Laplace

Exercícios 11.5

 

Determine uma solução particular.

 

11.6. DETERMINAÇÃO DE SOLUÇÃO PARTICULAR

ATRAVÉS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Antes de iniciar a leitura desta seção, sugerimos ao leitor rever o Cap. 3 do Vol. 2, principalmente, os Exercícios 7 e 8 da Seção 3.1.

Seja f definida em [0, +∞[. A função g dada por

 

denomina-se transformada de Laplace de f. Evidentemente, o domínio de g é o conjunto de todos os s para os quais a integral imprópria é convergente.

EXEMPLO 1. Determine a transformada de Laplace de f (t) = t.

Solução

Como sabemos,

 

 

Integrando por partes, vem

 

Para s > 0,

 

Assim,

 

Portanto, a transformada de Laplace de f (t) = t é a função

 

EXEMPLO 2. Determine a transformada de Laplace de

 

Solução

Como f (t) = 0 em ]0, a[, resulta

 

Como

 

resulta, para s > 0,

 

Logo, a transformada de Laplace da função dada é

 

Vamos apresentar, a seguir, uma pequena tabela de transformadas de Laplace, cuja verificação deixamos a seu cargo.

 

f (t)

1

eαt

tn

sen αt

cos αt

eαt cos βt

eαt sen βt

tn eαt

t sen βt

t cos βt

 

Seja f uma função definida em [0, +∞[. Dizemos que f é de ordem exponencial γ se existirem constantes M > 0 e γ > 0 tais que, para todo t ≥ 0.

 

EXEMPLO 3. Seja f definida em [0, +∞[. Suponha que f seja limitada em [0, α], para todo α > 0, e que existe γ > 0 tal que

 

Prove que f é de ordem exponencial γ.

Solução

Segue de que, tomando-se = 1, existe r > 0 tal que Portanto,

 

Por outro lado, como f é, por hipótese, limitada no intervalo [0, r[, existe uma constante M ≥ 1 tal que

| f (t) | ≤ M, 0 ≤ t ≤ r.

Como eγi ≥ 1 para t ≥ 0, resulta

 

Tendo em vista e pelo fato de M ≥ 1, resulta

 

Segue de e que

| f (t) | ≤ M eγt, t ≥ 0.

Logo, f é de ordem exponencial γ.

■

Segue, do Exemplo 3, que as funções constante, sen t, cos t, e αt n αt , t e cos t são de ordem exponencial. Seja f (t) = P (t) e αt (cos βt + sen βt), onde P é um polinômio e α e β, reais dados. Do que vimos nas seções anteriores, resulta que as soluções da equação linear de 2.ª ordem com coeficientes constantes

são de ordens exponenciais.

O próximo teorema nos conta que a transformada de Laplace destrói derivadas.

 

Teorema 1

a) Se f for de classe C1 em [0, +∞[ e de ordem exponencial γ, então

 

b) Se f for de classe C 2 em [0, +∞[ e se f e f' forem de ordem exponencial γ, então

 

Demonstração

a) Suponhamos que f seja de ordem exponencial γ; assim, existe M > 0 tal que

| f (t) | ≤ M eγt, para t ≥ 0.

Segue que

 

Logo, para s > γ, a integral imprópria

é absolutamente convergente e, portanto, convergente. (Utilizamos aqui o critério de comparação: para s > γ,

 

 

é convergente.) Integrando por partes,

 

Como, para s > γ,

 

resulta de que

 

Logo, para s > γ,

 

b) Fica a seu cargo.

■

 

O próximo teorema, cuja demonstração é deixada para o final da seção, conta-nos que se duas funções definidas em [0, +∞[, contínuas e de ordens exponenciais, tiverem transformadas de Laplace iguais, então serão iguais.

Teorema de Lerch. Sejam f e f contínuas em [0, +∞[ e de 1 2

 

ordens exponenciais. Se existe s tal que 0

 

então

 

f (t) = f (t) em [0, +∞[. 1 2

 

Antes de passarmos aos exemplos, observamos que

 

e

 

onde k é uma constante.

EXEMPLO 4. Determine uma solução particular da equação

 

Solução

Vamos procurar a solução particular que satisfaz as condições iniciais x (0) = 0 e (0) = 0. Sabemos que esta solução é de ordem exponencial. Vamos então calcular sua transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace aos dois membros, vem:

 

ou seja,

 

Pelo teorema 1, parte b,

 

pois x (0) = 0 e (0) = 0. Temos, também,

 

Substituindo em , obtemos

 

ou seja,

 

Vemos, pela tabela, que a função que admite como

transformada de Laplace (Confira!) Logo,

é uma solução particular. (Observe. é a transformada de Laplace

 

da solução procurada. Pelo Teorema de Lerch, é a única

função contínua de ordem exponencial cuja transformada de Laplace é a função acima. Todas as soluções da equação dada são contínuas e de ordens exponenciais. Conclusão: é a solução que satisfaz as

condições iniciais x (0) = 0 e (0) = 0.)

Fica a cargo do leitor verificar, por substituição direta na equação, que

t sen t, t ∈ , é uma solução particular da equação

 

■

 

EXEMPLO 5. Calcule a função contínua, de ordem exponencial, x = x (t), t ≥ 0, tal que

 

Solução

A expressão não aparece na tabela, mas expressões da forma

Vamos, então, decompor em expressões destes tipos:

 

Segue que A = 1 e B = −1. Então

Pela tabela, é a transformada de Laplace da função constante 1 e da

 

função e−t. Assim,

x = 1 − e−t.

■

 

EXEMPLO 6. Determine a solução do problema

 

Solução

Temos:

 

ou seja,

 

(Pela tabela, a transformada de Laplace da função constante 1 é .) Temos:

 

Substituindo em e levando em conta as condições iniciais, resulta:

ou seja,

 

 

e, portanto,

 

Como

 

resulta

x = −1 + et,

que é a solução procurada. (Verifique.)

■

 

Para demonstrar o teorema de Lerch vamos precisar do seguinte

 

Lema. Seja G: [0, 1] → contínua. Se, para todo polinômio P (t),

 

então

G (t) = 0 em [0, 1].

 

Demonstração

Suponhamos que exista c em [0, 1], com G (c) ≠ 0. Podemos supor G (c) > 0. Pelo teorema da conservação do sinal, existe um intervalo [a, b] contido em [0, 1], com c ∈ a, b], tal que

 

Para todo natural n ≥ 1, seja P (t) o polinômio dado por n

P n (t) = [1 + (t − a) (b − t)].

n

Observe que, para t ∈ [0, a] ∪ [b, 1],

0 ≤ P (t) ≤ 1. n

Segue que

 

e

 

Por outro lado, tendo em vista que

(t − a)(b − t) ≥ 0 em [a, b],

resulta, para todo t ∈ [a, b] e todo natural n ≥ 1,

 

De e resulta, para todo natural n ≥ 1,

 

Como

 

obtemos

 

Portanto, existirá um natural n tal que 1

 

que está em contradição com a hipótese. (Seja H (t) = G (t) P (t); veja: n n

 

onde

Portanto,

G (t) = 0 em [0, 1].

■

 

Vamos, agora, demonstrar o teorema de Lerch.

Demonstração do teorema de Lerch

Façamos h (t) = f (t) − f (t), t ≥ 0. Segue da hipótese que 1 2

 

Vamos provar, então, que

h (t) = 0 em [0, +∞[.

Segue de que, para todo natural k,

 

Fazendo a mudança de variável x = e −t, obtemos

 

ou seja,

 

(Observe que, para u → +∞, e −u → 0.)

Consideremos a função G: [0, 1] → dada por

 

Vamos mostrar que, para um s suficientemente grande (com s > s ), G é 0 contínua em x = 0.

Como as funções f e f são de ordens exponenciais, a função h também 1 2

será. Logo, existem constantes M > 0 e γ > 0 tais que

| h (t) | ≤ M e γt, t ≥ 0.

Segue que, para todo 0 < x ≤ 1,

| G (x) | = | xs − 1 s − − 1 h (−ln x) | ≤ M x. γ

Seja s máx {s , 1 + γ}. Tomemos s > s . Para este s, G é contínua em x = 0. 1 0 1 De fato, para s > s , 1

 

logo, pelo teorema do confronto,

 

Segue que G é contínua em x = 0. Como G é contínua em ]0, 1] (por quê?), resulta que G é contínua em [0, 1].

Seja s > s como acima. De e resulta, para todo natural k, 1

 

Portanto, para todo polinômio P (x),

Pelo Lema,

 

G (x) = 0 em [0, 1].

Logo,

 

Para mais informações sobre transformada de Laplace, veja referências bibliográficas 9 e 17.

Exercícios 11.6

 

Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0.)