10.9 Fator integrante

é solução da equação x dx + 2y dy = 0.)

 

10.9 FATOR INTEGRANTE

Consideremos a equação

 

e suponhamos que ela não seja exata. Seja u (x, y) definida num aberto

Dizemos que u (x, y) é um fator integrante para se

 

for exata.

Como já sabemos, se P (x, y), Q (x, y) e u (x, y) forem de classe C1 na bola aberta Ω , uma condição necessária e suficiente para que u = u (x, y) 1

seja um fator integrante é que satisfaça a equação

 

ou seja,

 

Vejamos, a seguir, que condições devem ser satisfeitas para que a equação admita um fator integrante que só dependa de x. Vamos, então, procurar um fator integrante da forma u = u (x). Com este fator integrante a

se reduz a

 

para alguma função h de uma variável, a equação se reduz a

 

que é uma equação de variáveis separáveis. Suponhamos h contínua. Separando as variáveis conclui-se que a equação admite o

fator integrante

 

Deixamos a seu cargo verificar que se

 

com f contínua, a equação admitirá o fator integrante

Se

 

 

com h contínua, a equação admitirá o fator integrante

 

Se

 

com f contínua, a equação admitirá o fator integrante

 

EXEMPLO 1. Resolva a equação

 

Solução

 

Temos

Assim,

 

 

A equação admite, então, o fator integrante

 

Como u (y) ≠ 0, a equação dada é equivalente à equação diferencial exata

 

Vamos, agora, determinar φ (x, y) tal que

 

Integrando a 1.ª equação em relação a x, obtemos onde k (y) é uma função de y a determinar. Tendo em vista a 2.ª equação de

, devemos ter

 

Derivando e simplificando, resulta

k' (y) = 0.

Assim, satisfaz . Portanto, as soluções y = y (x)

(ou x = x (y)) da equação dada são definidas implicitamente pelas equações

 

EXEMPLO 2. Determine condições para que a equação

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0

admita fator integrante da forma

u (x, y) = h (t), com t = xy,

onde h é função de uma variável.

Solução

 

Substituindo em , vem

Se

 

 

então a equação admitirá fator integrante

u (x, y) = h (xy)

onde

 

(Observe que, substituindo g (t) em , vem

h' (t) = h (t) g (t)

ou seja,

 

Separando as variáveis, resulta

 

Basta, então, tomar h tal que ou seja,

 

EXEMPLO 3. Resolva a equação

 

Solução

 

Temos

 

logo, a equação não é exata.

 

Segue que

 

com t = xy. Temos

 

Segue do exemplo anterior que

u (x, y) = h (xy) = xy

é um fator integrante. Como estamos supondo x > 0 e y > 0, a equação dada é equivalente à equação exata

 

As soluções y = y (x) da equação dada são definidas implicitamente pelas equações

 

Observação. Como

 

a equação admite, também, o fator integrante

 

Exercícios 10.9

 

1. Determine um fator integrante e resolva

a) 2 2 (3y − x + 1) dx + 2xy dy = 0, x > 0 b) 2 2 (xy + 2) dx + 3xy dy = 0, x > 0 c) 2 2 xy dx + (x − y) dy = 0, y > 0 d) 3y dx − x dy = 0, x > 0 e y > 0 e) (2x + 3y) dx + x dy = 0, x > 0 f) 2 (3xy − 4y) + dx + (2x − 4x) dy = 0, x > 0 e y > 0

2. Determine uma função y = y (x) cujo gráfico passe pelo ponto e

tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo x no ponto de abscissa x2.

3. Verifique que a equação de Bernoulli

 

Procure um fator integrante e resolva.

4. Resolva as equações de Bernoulli dadas.

 

5. Estabeleça uma fórmula para as soluções da equação de Bernoulli

 

onde p (x) e q (x) são supostas contínuas num mesmo intervalo I α ≠ 0 um real dado. (Sugestão: Veja Seção 15.3 deste volume.)

6. Considere a equação linear de 1.ª ordem, com coeficientes variáveis

 

onde p (x) e q (x) são supostas definidas e contínuas num mesmo intervalo I. Verifique que é um fator integrante para a

equação

Conclua que

 

 

onde está representando uma particular primitiva de

uma particular primitiva de

(Compare com o método utilizado na Seção 10.4 deste volume.)

7. Resolva pelo processo que achar mais conveniente. (Aproveite e dê

uma olhada no Cap. 15 deste volume. Poderá ajudar.)

 

8. Determine condições para que a equação

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0

admita fator integrante da forma

u (x, y) = h (x 2 2 + y),

onde h (t) é função de uma variável.

9. Dê exemplos de equações diferenciais que sejam resolvidas

utilizando o Exercício 8.

10. Determine uma função y = f (x), cujo gráfico passe pelo ponto (1, 1),

tal que, para todo (x, y) no gráfico de f, a área da região A seja o 2 dobro da área da região A (veja figura). 1

 

11. Determine uma função y = f (x), com f (1) = 2, tal que para todo t > 0,

com t no domínio de f, a área do conjunto

 

seja igual a tf (t).

12. Seja f (t) uma função dada. Prove que se y = y (x) for uma solução da

equação

 

então a função u = u (x) dada por

 

será solução da equação de variáveis separáveis

 

13. Verifique que a equação dada é da forma