A3.2 Critério de Kummer

Demonstração

Da hipótese, segue que, para todo k ≥ m,

a b − a b ≥ σa > 0. k k k+1 k+1 k

Daí, para todo k ≥ m, a b > a b . Assim, a sequência a b , k ≥ m, é k k k+1 k+1 k k decrescente e limitada inferiormente por zero, pois a e b são positivos para k k todo k. Logo, existe e é finito. Segue que a série telescópica

é convergente. Da desigualdade anterior (observe que

tal desigualdade é equivalente a

0 < σa ≤ a b − a b ) k k k k+1 k+1

e tendo em vista o critério de comparação, segue a convergência da série

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A3.2 CRITÉRIO DE KUMMER

Juntando o lema de Kummer com o critério de comparação de razões, temos o incrível critério de Kummer.

Critério de Kummer. Sejam duas séries de termos

positivos, com divergente. Suponhamos que

com H finito ou infinito. Nestas condições, tem-se

Demonstração

a) Se H > 0 ou H = +∞, tomando-se σ > 0, com σ < H se H > 0, existirá

um natural m > 0, tal que, para todo . Pelo

lema de Kummer será convergente.

b) Se H < 0 ou H = −∞, existirá um m > 0 tal que, para todo k ≥ m,

e, portanto, Pelo critério de comparação de razões e lembrando

que é divergente, segue que é divergente.

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Observação. Para o lema de Kummer, a única restrição para a série

para todo natural k. Entretanto, para o critério de Kummer exige-se que

seja uma série de termos positivos e divergente, isto porque na prova

da parte (b) utiliza-se o critério de comparação de razões.

O critério de Kummer é uma “fábrica” de critérios para convergência e divergência de séries de termos positivos: é só ir escolhendo a seqüência

d que torna a série de termo geral d divergente. É claro que ele próprio k k é um critério para convergência e divergência para séries de termos positivos. A primeira escolha é, evidentemente, d = 1, para todo k. Com k esta escolha temos

que é equivalente a

Assim, se e, portanto, H > 0, a série será convergente; se

teremos H < 0 e, portanto, a série será divergente. Com a

escolha d = 1, o critério de Kummer nada mais é que o critério da razão. k

Se com a escolha d = 1 ocorrer H = 0, o critério de Kummer nada k

revela. Escolhe-se, então, , mas com a escolha

as coisas ficarão mais elegantes). Temos

que é equivalente a

Se e, portanto, H > 0, a série será convergente. Se, por

outro lado, e, portanto, H < 0, a série será divergente.

Com essa escolha o critério de Kummer é equivalente ao critério de Raabe.

Se com a escolha ocorrer H = 0, o critério nada revelará sobre

a convergência ou divergência da série. Escolhe-se, então,

. Neste caso verifica-se que

Como (verifique) segue que

Neste caso, o critério de Kummer é equivalente ao critério de De Morgan.

Se com essa escolha o critério de Kummer ou de De Morgan não decidir, escolhe-se e calcula-se H. Se H = 0, escolhe-se

e assim por diante.