15.13 Equação diferencial de 2.ª ordem do tipo y'' = f (y, y')

15.13. E a QUAÇÃO D IFERENCIAL DE 2. ORDEM DO

TIPO y″ = f (y, y')

Observe que

 

é uma equação diferencial de 2. a ordem em que a variável x não aparece explicitamente. As equações tratadas nas Seções 10.7, 15.10 e 15.12 são deste tipo.

Para estudar esta equação será conveniente transformá-la em um sistema de duas equações de 1. a ordem. A equação é equivalente ao sistema

 

Observe que se y = y (x), x ∈ I, for solução de , então

 

será solução de . Por outro lado, se for solução de , então y = y (x), x ∈ I será solução de . Vamos, agora, reescrever na forma

 

Multiplicando a 1.a a equação por f (y, p) e a 2. por p e comparando, obtemos

Segue que toda solução

 

 

de será, também, solução da equação

p dp = f (y, p)dy.

A importância deste resultado reside no fato de nos permitir abaixar a ordem da equação. Vamos, então, destacá-lo.

 

Se y = y (x) for solução de , então

 

será solução de

p dp = f(y, p)dy.

(Veja Seção 10.7 para outro modo de resolução.)

 

EXEMPLO 1. Seja a equação

y″ = yy' + y.

Seja y = y(x), x ∈ I, uma solução desta equação tal que y' (x) + 1 > 0 para todo x ∈ I. Mostre que existe uma constante c tal que, para todo x ∈ I,

 

Solução

y″ = f (y, y'),

onde

f (y, y') = yy' + y.

Seja, então, y = y (x), x ∈ I, uma solução. Segue que

 

é solução da equação

p dp = (yp + y) dy, com p + 1 > 0,

que é equivalente a

 

ou

Daí, existe uma constante c tal que, para todo x ∈ I,

 

 

ou seja,

 

EXEMPLO 2. Suponha que uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox e que o movimento seja regido pela equação

 

Suponha, ainda, que x (0) > 0 e (0) > 0. Seja x = x (t), t ∈ I, a posição da partícula no instante t, onde I é um intervalo contendo 0.

a) Prove que, para todo t ∈ I, com t ≥ 0, (t) > 0. b) Expresse a posição x em termos da velocidade v.

Solução

 

a) Suponhamos que exista t ∈ I, t > 0, tal que (t ) = 0. Seja 1 1 1

T = inf {t ∈ I, t > 0 | (t ) = 0 }. 1 1 1

É claro que T > 0. (Observe que pelo fato de ser contínua e (0) > 0, existe t > 0 tal que (t) > 0 em [0, t ].) Segue que (t) > 0 em [0, T [. 2 2 Como (t) > 0 em [0, T [ (por quê?), resulta (T) > (0) > 0. Pela conservação do sinal existirá, então, T > T tal que (t) > 0 em [T, T ] e, 1 1 assim, T não poderá ser o ínfimo do conjunto.

Logo, (t) > 0 para todo t ∈ I, com t ≥ 0,

b) Segue do exemplo anterior que, para todo t ∈ I, t ≥ 0,

 

para alguma constante c. (É claro que onde x = 0

x(0) e v = (0).) Daí, para todo t ∈ I, t ≥ 0. 0

 

onde = v.

■

 

EXEMPLO 3. Considere a equação

y″ = 3y 2.

Esboce o gráfico da solução y = y (x) que satisfaz as condições iniciais y (0) = 2 e y' (0) = 4.

Solução

y″ = 3y 2.

Seja y = y (x), x ∈ I, a solução procurada. Para todo x ∈ I,

é solução da equação

 

p dp = 3y2 dy.

Integrando, obtemos

 

Segue que, para todo x ∈ I,

 

Tendo em vista as condições iniciais, c = 0. Como y' (0) > 0, a função procurada é solução da equação

 

Como y (0) = 2, podemos supor y > 0. A equação acima é equivalente a

 

e, portanto,

 

ou seja,