Um Curso de Cálculo, Volume 4
A2.4 Utilização das séries de Fourier na determinação de solução particular de uma equação diferencial linear de 2.ª ordem, com coeficientes constantes, quando o 2.º membro é uma função periódica
Neste caso, considera-se a função g: [−π, π] → dada por
Observe que
Fica a cargo do leitor pensar na situação geral. (Veja referência bibliográfica 22.)
Para mais informações sobre as séries de Fourier, veja referências bibliográficas 12 e 25, onde são feitas várias aplicações das séries de Fourier às equações diferenciais parciais.
A2.4. UTILIZAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER NA
DETERMINAÇÃO DE SOLUÇÃO PARTICULAR
DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE
2.ª ORDEM, COM COEFICIENTES
CONSTANTES, QUANDO O 2.º MEMBRO É
UMA FUNÇÃO PERIÓDICA
Vamos mostrar, através de dois exemplos, como utilizar as séries de Fourier na determinação de uma solução particular de equação da forma
y″ + by' + cy = f (x)
(b e c constantes), onde f : → é suposta periódica de período 2 π.
EXEMPLO 1. Determine uma solução particular da equação
y″ + 2y = f (x),
onde f : → é periódica de período 2 π e dada por
f (x) = x 2, −π ≤ x ≤ π.
Solução
Para todo x,
Vamos, então, tentar uma solução particular da forma
Vamos, por enquanto, admitir que a série seja derivável, duas vezes, termo a termo. Assim,
Substituindo e na equação dada, obtemos Devemos ter, então,
e
Logo,
Como
resulta que a série
é duas vezes derivável termo a termo. É claro, então, que
é realmente uma solução particular da equação dada. (A desigualdade garante-nos a convergência uniforme da série
e, portanto, a série é duas vezes derivável termo a termo. Reveja teorema sobre derivação termo a termo de uma série.)
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EXEMPLO 2. Determine uma solução particular da equação
y″ + 4y = f (x),
onde f é a função do exemplo anterior.
Solução
Temos:
é uma solução particular para a equação
Vamos, agora, procurar uma solução particular y = y (x) para a equação 2 2
y″ + 4y = cos 2x.
Temos aqui o fenômeno de ressonância. Uma solução particular é
Por outro lado,
é uma solução particular para
Pelo princípio de superposição,
y = y + y + y , p 1 2 3
ou seja,
é uma solução particular para a equação dada.
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