Um Curso de Cálculo, Volume 4
13.7 Equação diferencial linear de 2.ª ordem e não homogênea. Método da variação das constantes
y = xα [ k cos (β In x) + k sen (β In x)].
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Para finalizar a seção, observamos que se z = g (u) for solução da equação diferencial linear de 2.ª ordem, com coeficientes constantes e homogênea
então y = g (In x), x > 0, será solução de . (Confira.) Observe que a
equação característica de exatamente a equação indicial de .
13.7. EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE 2.ª
ORDEM E NÃO HOMOGÊNEA. MÉTODO DA
VARIAÇÃO DAS CONSTANTES
Consideremos a equação diferencial linear de 2.ª ordem, não homogênea, de coeficientes variáveis,
onde p (x), q (x) e r (x) são supostas definidas e contínuas num intervalo I. Deixamos a cargo do leitor provar que a solução geral de é
y = y + y , h p
onde y é a solução geral da homogênea associada h
é y uma solução particular de . p EXEMPLO 1. Determine a solução geral da equação
Solução
A solução geral da homogênea associada
é
Vamos tentar uma solução particular do tipo y α = mx. Temos
p
y′ α − 1 α − 2 = mαx e y ″ = mα(α − 1) x.
p p
Substituindo na equação, resulta
m α (α − 1) x − 2 − 2 − mαx = 3x. α α
Para α = 3 m = 1 temos uma identidade. Assim, y 3 = x é uma soluçãon
p
particular. A solução geral da equação dada é, então,
Com procedimento análogo àquele da Seção 11.5 prova-se que a fórmula estabelecida naquela seção para as soluções de uma equação diferencial linear de 2.ª ordem, não homogênea, com coeficientes constantes, continua válida quando os coeficientes forem variáveis. Vamos destacá-la a seguir.
Sejam f (x) e g (x), x ∈ I, soluções linearmente independentes da equação homogênea
y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0.
Então, as soluções da equação
y″ + p (x) y′ + q (x) y = r (x)
são dadas pela fórmula
onde W (x) é o wronskiano de f (x) e g (x).
EXEMPLO 2. Determine a solução geral da equação
x2 3 y″ + xy′ − 4y = x In x, x > 0.
Solução
Para podermos utilizar a fórmula anterior, vamos trabalhar com a equação dada na forma
A homogênea associada é
que é equivalente a
x2y″ + xy′ − 4y = 0,
cuja solução geral é
(Veja Exemplo 3 da seção anterior.) Sejam f (x) = x 2, g(x = e r(x)
= x In x. Pela fórmula ,
Como
resulta
Temos, então, a solução particular