9.3 Uma condição suficiente para que a série de Fourier de uma função convirja uniformemente para a própria função

f(x) = | x |, −π ≤ x ≤ π,

converge uniformemente em .

Solução

f é contínua, de classe C 2 por partes e f(−π) = f(π). Pelo teorema anterior, sua série de Fourier converge uniformemente em .

■

 

9.3. UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA QUE A

SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO

CONVIRJA UNIFORMEMENTE PARA A

PRÓPRIA FUNÇÃO

O objetivo desta seção é provar que se

f: [−π, π] →

for contínua, de classe C 2 por partes e f(−π) = f(π), então a sua série de Fourier convergirá uniformemente, em [−π, π], à própria função f. Para provar este resultado vamos precisar do lema seguinte, cuja demonstração será feita na Seção A2.1, do Apêndice 2.

 

Lema. Sejam f e g definidas e contínuas em [−π, π], tais que

f(−π) = f(π) e g(−π) = g(π).

Se, para todo natural n,

 

e

 

então

f(x) = g(x) em [−π, π].

 

Vamos, agora, demonstrar o seguinte:

 

Teorema. Seja f: [−π, π] → contínua, de classe C2 por partes

e tal que f(−π) = f(π). Seja

 

a série de Fourier de f. Então, para todo x em [−π, π],

 

sendo a convergência uniforme em [−π, π].

Demonstração

Pela hipótese, a série converge uniformemente em ; portanto, em particular em [−π, π]. Seja, então, g: [−π, π] → a soma da série em [−π, π]; isto é, para todo x em [−π, π],

 

Observe que g(−π) = g(π) e pelo fato de a convergência ser uniforme g é contínua. Sendo a convergência uniforme, segue do Exemplo 1 da Seção 9.1, que

 

e

 

mas

 

e

 

Como f e g são contínuas e, além disso,

f(−π) = f(π) e g(−π) = g(π),

segue do lema anterior que

 

EXEMPLO 1. Tendo em vista o Exemplo 3 da Seção 9.1 e o teorema anterior, resulta

 

para x em [−π, π], sendo a convergência uniforme neste intervalo. Para todo natural n ≥ 1, seja

 

Sendo a convergência uniforme em [−π, π], segue que, para todo > 0 dado, existe n (que só depende de ) tal que 0

 

para todo x em [−π, π]; isto é, para todo n > n , os gráficos de s = s (x), x 0 n n ∈ [−π, π], permanecem na faixa compreendida entre os gráficos das funções y = x2 2 − e y = x + , x ∈ [−π, π]. Na figura abaixo damos uma

ideia do gráfico de s = s (x), para n par. Deixamos a cargo do leitor n n

verificar que s (0) < 0, para n ímpar, e s (0) > 0 para n par. (É só observar n n que, para x = 0, a série é alternada com soma zero.)

À medida que n tende a +∞, os gráficos de s = s (x) vão “encostando” cada n n vez mais no gráfico de y = x 2, x ∈ [−π, π]. (Observe que s = s (x) é uma

n n

função par.)

Fazendo x = 0 em , obtemos

 

e, portanto,

 

Como se trata de uma série alternada, resulta

 

para todo n ≥ 1. (Veja Seção 2.2.)

■

EXEMPLO 2. Utilizando o Exemplo 1, determine a série de Fourier da função

 

Solução

Pelo Exemplo 1,

 

Como a convergência é uniforme e as funções cos nx são contínuas, é válida a integração termo a termo no intervalo de extremidades 0 e t, para todo t em [−π, π]. Então,

 

e, portanto, para todo t em [−π, π],

 

Trocando t por x, vem

 

Agora, é só observar que a convergência é uniforme e utilizar o Exemplo 1 da Seção 9.1 para concluir que esta é realmente a série de Fourier da função dada.

■

EXEMPLO 3. Determine uma série de Fourier que convirja uniformemente, em [0, π], à função

f (x) = x, 0 ≤ x ≤ π.

Solução

Consideremos a função

g (x) = | x |, −π ≤ x ≤ π.

Esta função é contínua, de classe C2 por partes e g (−π) = g (π). Pelo teorema anterior, sua série de Fourier converge uniformemente, em [−π, π], à própria função g. Esta série converge, então, uniformemente, em [0, π], à função f(x) = x, 0 ≤ x ≤ π. Fazendo os cálculos, chega-se a

 

sendo a convergência uniforme em [−π, π]. Logo,

 

sendo a convergência uniforme em [0, π]. Como

 

resulta para todo x em [0, π], sendo a convergência uniforme neste intervalo.

■

 

Observação. A série de Fourier acima não é a única que converge uniformemente em [0, π] à função dada. Por exemplo, a série de Fourier da função cujo gráfico é

 

também converge uniformemente em [0, π] à função dada. (Por quê?)

EXEMPLO 4. Determine uma função (não nula) cuja série de Fourier convirja uniformemente, em [0, π], à função f(x) = 0, 0 ≤ x ≤ π.

Solução

A função

resolve o problema. De fato, g é contínua, de classe C2 por partes e g(−π) = g (π); logo, a sua série de Fourier converge uniformemente, em [−π, π], à própria função g. Portanto, a série de Fourier de g converge uniformemente, em [0, π], à função dada.

■

 

EXEMPLO 5. Considere a função

 

a) Mostre que não existe série de Fourier que convirja

uniformemente a h em [−π, π].

b) Para todo a em ]0, π[, seja g : [−π, π] → a função cujo gráfico a

é o da figura abaixo.

 

Mostre que a série de Fourier de g converge uniformemente, no conjunto a [−π, −a] ∪ [a, π], à função h dada.

Solução

a) Se uma série de Fourier converge uniformemente no intervalo [−π, π],

então a sua soma será obrigatoriamente contínua neste intervalo. Como

a função dada não é contínua em x = 0, resulta que não pode existir uma

série de Fourier que convirja uniformemente a h em [−π, π]. b) 2 A função g é contínua, de classe C por partes e tal que g (−π) = g (π).

a a a

Logo, a sua série de Fourier converge uniformemente, em [−π, π], à

própria função g . Portanto, a série de Fourier de g converge a a

uniformemente, em [−π, −a] ∪ [a, π], à função h dada. Isto é, para todo

x em [−π, −a] ∪ [a, π],

 

sendo a convergência uniforme no conjunto [−π, −a] ∪ [a, π], onde a

série que ocorre no 2.º membro é a série de Fourier da função g . a

(Observe que, pelo fato de g ser uma função ímpar, a

 

Com isso terminamos a resolução do Exemplo 5. Vamos, agora,

fazer mais alguns comentários sobre esse exemplo. Como vimos, para todo x em [−π, π],

 

sendo a convergência uniforme em [−π, π]. Seja

 

com x ∈ [−π, π]. Segue que, para todo > 0 dado, existe n (que só 0 depende de ) tal que

n > n ⇒ g (x) − < s (x) < g (x) + 0 a n a

para todo x em [−π, π]. (Este fato decorre da convergência ser

uniforme em [−π, π].) Assim, para n > n , os gráficos de s = s (x), x ∈ 0 n n [−π, π] permanecem na faixa compreendida entre os gráficos das funções

y = g (x) − e y = g (x) + , −π ≤ x ≤ π. a a

À medida que n tende a +∞, os gráficos de s = s (x) vão “encostando” n n

cada vez mais no gráfico de y = g (x), x ∈ [−π, π]. (Observe que s = s a nn

(x) é uma função ímpar.)

Da mesma forma, para n > n , os gráficos de s = s (x), com x em [−π, 0 n n

a] ∪ [a, π], permanecem na faixa compreendida entre os gráficos das

funções

y = h (x) − e y = h (x) + , x ∈ [−π, −a] ∪ [a, π].

 

Observe que

Tendo em vista o que vimos acima, é razoável esperar que a série de

 

Fourier de h convirja para h (x), para todo x ≠ 0, com x em [−π, π], e que a convergência deverá ser uniforme em todo conjunto da forma

 

para 0 < a < π. Provaremos na Seção A2.2 do Apêndice 2 que este fato realmente ocorre. Isto é, provaremos que, para todo x ∈ [−π, π],

 

sendo a convergência uniforme no conjunto , anterior. (Observe que a série que ocorre no 1.º membro da igualdade acima é a série de Fourier de h, conforme Exemplo 4 da Seção 9.1.) Este resultado será utilizado na demonstração do teorema que enunciaremos na próxima seção.

■

 

Exercícios 9.3

 

1. Seja F : → dada por

 

onde a série do 2.º membro é a série de Fourier da função f (x) = x2, −π ≤ x ≤ π.

a) Prove que F é contínua. b) Verifique que F é periódica de período 2π.

c) Esboce o gráfico de F.

2. 2 Seja → : periódica de período 2π, contínua e de classe C por

partes em [−π, π]. Prove que, para todo x ∈ ,

 

onde a série do 2.° membro é a série de Fourier de f.

3. Sejam a , n ≥ 0 e b , n ≥ 1 números reais dados. Seja f: [−π, π] → n n

dada por

 

Prove que f (−π) = f (π).

4. Seja f (x) = x, −π ≤ x ≤ π. Existe série de Fourier que convirja

uniformemente a f em [−π, π]? Justifique.

5. Seja f (x) = x, a ≤ x ≤ π, onde a ∈ ]−π, 0[ é um real dado. Determine

uma função g: [−π, π] → cuja série de Fourier convirja uniformemente a f em [a, π]. Justifique.

6. Seja a um real dado, com 0 < a < π. Seja f uma função definida em

[−π, −a] ∪ [a, π], dada por f (x) = 1. Determine uma série de Fourier, com pelo menos dois coeficientes não nulos, que convirja uniformemente a f em [−π, −a] ∪ [a, π]. Justifique.

7. 2 Seja f : [−π, π] → uma função par, contínua e de classe C por

partes. Prove que, para todo x em [−π, π],