Um Curso de Cálculo, Volume 4
10.2 Equações de variáveis separáveis. Soluções constantes
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O objetivo deste capítulo é o estudo das equações diferenciais ordinárias de 1.a ordem.
10.2 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS.
SOLUÇÕES CONSTANTES
Uma equação diferencial de 1.a ordem de variáveis separáveis é uma equação da forma
onde g e h são funções definidas em intervalos abertos I e I , 1 2 respectivamente. Observe que uma solução de é uma função y = y (x)
definida num intervalo aberto I, com I ⊂ I , tal que para todo x em I, 1
y′ (x) = g(x)h(y(x)).
EXEMPLO 1. é uma equação de variáveis separáveis. Aqui g(x) =
x e h(y) y 2.
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EXEMPLO 2. a é uma equação diferencial de 1. ordem, mas
não de variáveis separáveis.
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EXEMPLO 3. Verifique que é solução da
equação .
Solução
Precisamos mostrar que, para todo t em ]−1, 1[, x′ (t) = t[x(t)]2. Temos
e
Logo, para todo t em ]− 1, 1[,
x′(t) = t[x(t)] 2
ou seja, , é solução da equação.
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Vejamos, agora, como determinar as soluções constantes, caso exista alguma, de uma equação de variáveis separáveis. Para que a função
constante y(x) = a, x em I , (a constante) seja solução de devemos ter, 1
para todo x em I , 1
y′(x) = g(x)h(y(x)), ou seja, 0 = g(x)h(a)
pois y′(x) = 0 e y(x) = a. Supondo então que g(x) não seja identicamente
nula em I , deveremos ter h(a) = 0, ou seja, para que a função constante y(x) 1
= a, x em I , seja solução basta que a seja raiz da equação h(y) = 0. 1
Soluções constantes de uma equação de variáveis separáveis
Supondo g(x) não identicamente nula em I , a função constante y(x) 1 = a, x em I , será solução de se a for raiz da equação 1
h(y) = 0.
Atenção. Se as variáveis y e x forem trocadas respectivamente por x e t, a
função constante x(t) = a, t em I , será solução de = g(t)h(x) se a for raiz 1
da equação h(x) = 0.
EXEMPLO 1. Determine as soluções constantes de 2 = x(1 − y).
Solução
h(y) = 1 − y 2 2 ; h(y) = 0 ⇔ 1 − y = 0. Como
1 − y2 = 0 ⇔ y = 1 ou y = − 1
resulta que
y(x) = 1 e y(x) = − 1
são as soluções constantes da equação.
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EXEMPLO 2. A equação 2 = 4 + x não admite solução constante, pois h(x) = 4 + x 2 não admite raiz real.
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Exercícios 10.2
1. Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis.
2. Verifique que a função dada é solução da equação dada.
3. Determine, caso existam, as soluções constantes.