10.10 Exemplos diversos

Utilize, então, o Exercício 12 para determinar uma família de soluções da equação dada.

 

 

10.10 EXEMPLOS DIVERSOS

EXEMPLO 1. O movimento de uma partícula no plano é regido pela equação

 

Suponha que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição (x (0), y (0)) = (1, 0). Mostre que a partícula desloca-se sobre a elipse

(x − y) 2 2 + y = 1.

Solução

Seja onde I é um intervalo contendo 0, a posição da partícula no instante t. Multiplicando-se a 1.ª equação de por x − y e a 2.ª por −x + 2y e

somando membro a membro, obtemos

 

Segue que, sendo solução de , será também solução de

(x − y) dx + (−x 2y) dy = 0,

que é uma equação diferencial exata. A função

 

é tal que segue que, para todo

t ∈ I, o ponto (x (t), y(t)) pertence à curva de nível

 

Portanto, o movimento da partícula realiza-se sobre a elipse

 

EXEMPLO 2. Considere um fluido em escoamento bidimensional, com campo de velocidade

 

Mostre que as trajetórias descritas pelas partículas do fluido são elipses.

Solução

Consideremos uma partícula qualquer do fluido e suponhamos que no instante t sua posição seja dada por

 

Na posição (x (t), y (t)) a velocidade da partícula é igual a Segue que o movimento das partículas é regido pela equação

 

Procedendo como no exemplo anterior, resulta que é solução de

(x − y) dx + (−x + 2y) dy = 0,

cuja solução é a família de elipses

(x − y)2 2 + y = k.

Deste modo, as partículas do fluido deslocam-se sobre elipses.

■

 

EXEMPLO 3. Determine uma solução do sistema

 

que passa pelo ponto (1, 0).

Solução

Seja

 

uma tal solução. Procedendo-se como nos exemplos anteriores, resulta que, para todo t ∈ I,

(x − y) 2 2 + y = 1.

Como estamos interessados numa solução que passa pelo ponto (1, 0), podemos, então, supor x (t) − y (t) > 0 para todo t ∈ I. Da equação anterior obtemos

 

Substituindo na 2.ª equação do sistema dado, resulta

 

Separando as variáveis, vem:

 

e, portanto, arc sen y = −t + k . Supondo que no instante t = 0 temos y = 0, 1

resulta

Substituindo na equação , obtemos

x = −sen t + cos t.

Portanto,

 

satisfaz as condições dadas. Deixamos a seu cargo verificar que a restrição

pode ser eliminada. Isto é,

 

é, também, solução do problema.

■

 

Sejam φ(x, y) e φ 1 (x, y) definidas e de classe C no aberto Ω;

1

suponhamos que seus gradientes nunca se anulam em Ω. Dizemos que as famílias de curvas

 

são ortogonais se, para todo (x, y) ∈ Ω,

 

o que significa que as curvas da família φ(x, y) = c interceptam

ortogonalmente as da família φ(x, y) = c . 1

EXEMPLO 4. Determine uma família de curvas que seja ortogonal à família

 

 

Solução

Seja φ(x, y) = x2 2 + 4y. Temos

 

A família que queremos deverá, então, ser ortogonal ao campo

 

As curvas desta família são as soluções da equação

−8y dx + 2x dy = 0.

(Veja a Seção 10.8 deste volume.)

Separando as variáveis, vem

Portanto,

 

−4 ln x + ln y = k . 1

Segue que

y = cx4 (c > 0)

é uma família ortogonal à família dada.

■

 

EXEMPLO 5. Determine uma solução da equação

 

que satisfaça as condições .

Solução

 

Seja x = x (t), t ∈ I, uma tal solução. (I é um intervalo contendo 0.) Temos:

 

Portanto, para todo t ∈ I,

 

logo, existe uma constante c tal que

Tendo em vista as condições iniciais dadas, resulta

 

 

ou seja,

 

Separando as variáveis, vem

 

e, portanto,

arc tg x = t + k.

Sendo k = 0, pois x (0) = 0, resulta

 

EXEMPLO 6. O movimento de uma partícula sobre o eixo x é regido pela equação

 

Sabe-se que . Determine a posição x = x (t) da

partícula.

Solução

Multiplicando por , obtemos

 

 

Temos:

 

Seja x = x (t), t ∈ I, a posição da partícula no instante t. (I é um intervalo contendo 0). Segue do que vimos acima que, para todo t ∈ I,

 

logo, existe uma constante c tal que, para todo t ∈ I,

 

Tendo em vista as condições iniciais, resulta c = 0. Assim, para todo t ∈ I,

 

Como nunca se anula, resulta que x > (t) 0 para todo t ∈ I. (Observe que é contínua.) Então

 

Separando as variáveis, vem

e, portanto,

 

 

Tendo em vista a condição x (0) = 1, resulta Portanto,

 

ou seja,

 

EXEMPLO 7. Seja f (x) uma função definida e contínua no intervalo J e seja U (x) uma primitiva de −f (x) em J, isto é, U' (x) = −f (x) para todo x ∈ J. Prove que se x = x (t), t ∈ I for uma solução da equação

 

então existirá uma constante c tal que, para todo t ∈ I,

 

Solução

Basta mostrar que

Temos

 

e

 

Daí e pelo fato de resulta

 

Logo, existe uma constante c tal que, para todo t ∈ I,

 

(Veja também Seção 15.11 deste volume.)

■

 

Observação (conservação de energia). Suponhamos que uma partícula de massa m = 1 desloca-se no eixo Ox sob a ação da força resultante f (x) , onde f (x) é suposta definida e contínua no intervalo J. Seja U (x) uma primitiva de −f (x) em J. (Neste caso, a função U (x) denomina-se uma função energia potencial para f.) Pela 2.ª lei de Newton (massa × aceleração = resultante) temos

 

que é a equação que rege o movimento da partícula. Pelo exemplo anterior

o que significa que a soma da energia cinética com a energia potencial permanece constante durante o movimento.

 

EXEMPLO 8. Seja θ = θ (t) solução da equação

 

onde c é uma constante conveniente, θ(t ) = θ e θ (t ) = θ . 0 0 1 1

Solução

Segue, do exemplo anterior, que existe uma constante c tal que, para

todo t ∈ [t , t ], 1 0

 

Segue da hipótese em [t , t ] que 0 1

 

No intervalo [t , t ] a função θ = θ (t) é estritamente crescente, logo, 0 1

inversível. Seja t = t (θ) a sua inversa. Temos

Portanto,

 

Como t (θ ) = t e t (θ ) = t , resulta 0 0 1 1

 

EXEMPLO 9. O movimento de uma partícula no plano é regido pela equação

 

Determine a trajetória descrita pela partícula, supondo que ela parta do

ponto (x , y ) dado. 0 0

a) (1, 1)

b) (0, 1)

c) (1, 0)

d) (−1, −1)

e) (−1, 0)

f) (0, −1)

g) (−1, 1)

h) (1, −1)

Solução

Multiplicando a 1.ª equação por x e a segunda por −y e somando membro a membro, obtemos

 

Segue que toda solução

 

do sistema dado é, também, solução da equação , ou seja, da equação

x dx − y dy = 0.

Integrando, resulta

 

ou

x2 2 − y = c (c = 2k).

Segue que, para toda solução

 

do sistema dado, existe uma constante c tal que, para todo t ∈ I, o ponto (x (t), y (t)) permanece sobre a curva de nível

x2 2 − y = c, que é uma família de hipérboles (c ≠ 0) ou um par de retas (c = 0). A partícula que parte da posição (1, 1) descreve o movimento sobre a reta y = x (c = 0, neste caso); esta situação e as outras estão representadas na figura ao lado. As setas indicam o sentido de percurso. Observe que o sistema dado nos conta que a velocidade da partícula depende de sua posição e que na posição (x, y) a velocidade é

 

Por exemplo, na posição (1, 1) a velocidade é na posição (−1, 1) é

etc.

■

EXEMPLO 10. Com relação ao exemplo anterior, determine a posição, no

instante t, da partícula que parte da posição (x , y ) dada. 0 0

Solução

Como vimos, a partícula descreve o movimento sobre a reta y = x. Sendo, então, (x (t), y(t)) a posição da partícula no instante t, com t ∈ I, teremos, para todo t ∈ I,

y (t) = x (t).

Substituindo na 1.ª equação do sistema dado, obtemos

 

e, portanto, x = ket. Devemos tomar k = 1, pois, para t = 0, x = 1. Logo,

 

é a posição da partícula no instante t. (Observe que

 

é solução do sistema dado no exemplo anterior; quando t percorre o intervalo ] −∞, +∞[, o ponto (e t t , e) descreve a semirreta

 

A partícula descreve o movimento sobre o ramo de hipérbole x2 2 − y

=−1, y > 0. Segue que

Substituindo na 1.ª equação do sistema, obtemos

 

Separando as variáveis e integrando, resulta

 

Fazendo a mudança de variável x = tg θ,

 

e, portanto,

 

(Estamos omitindo a constante, pois ela já foi considerada em .) Como x = 0 para t = 0, devemos tomar k = 0; assim,

 

ou seja,

 

Daí,

1 + x 2 2 t 2 = e − 2xe + x t

e, portanto,

 

Substituindo em , obtermos

 

Deste modo,

 

fornece-nos a posição, no instante t, da partícula que, no instante t = 0, ocupa a posição (0, 1).

 

O movimento se realiza sobre a reta

y = −x (verifique).

Substituindo na 1.ª equação do sistema, obtemos

 

Portanto, x = ke−t. Para se ter x (0) = −1, devemos tomar k = −1. Portanto,

fornece-nos a posição no instante t da partícula que parte de (−1, 1). Observe que, para t → +∞, a posição da partícula tende para a origem (0, 0).

 

Os demais casos ficam para o leitor.

■

 

EXEMPLO 11. (Mudança de variáveis.) Considere a equação

 

Sejam x = f (u, v) e y = g (u, v) duas funções de classe C1 no aberto Ω , tais

1

que, para todo (u, v) ∈ Ω , (f (u, v), g (u, v)) ∈ Ω. Prove que se 1

 

for solução da equação

 

então

 

será solução de .

Observação. Na equação acima

 

P (u, v) = P (f (u, v), g (u, v)) 1

e

Q (u, v) = Q (f (u, v), g (u, v)). 1

Solução

Segue de que

 

Basta, então, substituir e em

 

e observar que, por hipótese,

 

é solução de .

■

 

EXEMPLO 12. Considere a equação

Determine uma solução y = y (x) cujo gráfico passe pelo ponto (2, 1).

 

Solução

A equação dada é equivalente a

(x − y) dx + (x + y − 2) dy = 0, x + y − 2 ≠ 0.

Façamos a mudança de variáveis

 

Temos

dx = du e dy = dv.

Substituindo na equação dada, vem

 

Como estamos interessados numa solução que passa pelo ponto (2, 1), podemos trabalhar com u > 0. Dividindo os dois membros de por u, obtemos

 

Consideremos, então, a equação

Façamos, agora, a mudança de variável

 

 

Temos

 

Substituindo na equação acima, obtemos

 

que é equivalente a

 

e, portanto,

 

ou seja,

 

Tendo em conta e , resulta Para x = 2 e y = 1 resulta c = 0. Uma solução y = y (x) do problema é, então, dada implicitamente pela equação

 

(Sugerimos ao leitor esboçar o gráfico de uma tal solução; para isto passe a equação acima para coordenadas polares, fazendo

 

Sugerimos, ainda, verificar que

 

com ρ = k e − , onde k ≥ 0 é uma constante, é solução da equação θ

(x − y) dx + (x + y − 2) dy = 0.

Desenhe tais soluções.) Veja, também, Exercício 30 da Seção 10.5.

■

 

EXEMPLO 13. Considere a equação

 

Determine uma solução que passe pelo ponto (0, 1).

Solução

Vamos passar para coordenadas polares. Façamos

 

Como estamos interessados numa solução que passe pelo ponto (0, 1) podemos trabalhar com ρ > 0 e θ no intervalo ]0, π[. Temos

 

ou seja,

 

Substituindo e na equação dada e simplificando, obtemos

(cos θ − 1) dρ + ρ sen θ dθ = 0,

que é equivalente a

 

e, portanto,

In ρ − In (1 − cos θ) = c.

Para resulta c = 0. Logo,