13.5 Redução de uma equação diferencial linear de 2.ª ordem, com coeficientes variáveis, a uma linear de 1.ª ordem

c) Determine a solução geral.

6. Considere a equação y″ − xy = 0. Determine a solução que satisfaz as

condições iniciais y (0) = 1 e y′ (0) = 0.

(Sugestão: Procure solução da forma Veja Exemplo 3 da

Seção 8.3.)

7. Determine a solução geral da equação

 

(Sugestão: Proceda como no Exercício 5.)

8. Considere a equação , a solução que satisfaz as

condições iniciais

9. 3 Determine a solução geral da equação xy′ − xy′ + y = 0, x > 0.

10. Esboce o gráfico da solução da equação do exercício anterior que

satisfaz as condições iniciais y (1) = e −1 −1 e y′ (1) = 2e .

 

13.5. REDUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL

LINEAR DE 2.ª ORDEM, COM COEFICIENTES

VARIÁVEIS, A UMA LINEAR DE 1.ª ORDEM

Seja a equação

onde p (x) e q (x) são supostas definidas e contínuas num mesmo intervalo

 

I. Suponhamos que seja conhecida uma solução y = φ (x), x ∈ I, de ; 1 suponhamos, ainda, que, para todo x ∈ I, φ (x) ≠ 0. A seguir, vamos 1 utilizar a fórmula de Abel-Liouville para determinar outra solução y = φ 2 (x), x ∈ I, de e linearmente independente com φ . 1

Conforme Exercício 4 da Seção 13.4, toda solução y = φ (x), x ∈ I, da 2 equação

 

é, também, solução de . (Observamos que ∫ p(x) dx está indicando uma

particular primitiva de p (x).) Evidentemente, φ e φ são linearmente 1 2 independentes. Assim, a solução geral de é

 

y = k φ (x) + k φ (x). 1 1 2 2

EXEMPLO 1. Determine a solução geral da equação

x2y″ + 3xy′ + y = 0, x > 0.

Solução

Vamos procurar solução do tipo y = xα. Temos

y′ = αx −1 α −2 e y′ = α(α −1) x. α

Substituindo na equação e simplificando, obtemos

α2 + 2α + 1 = 0

e, portanto, α = −1. Assim,

 

é uma solução da equação dada.

Vamos, agora, utilizar a fórmula de Abel-Liouville para obtermos outra solução. A equação dada é equivalente a

 

Temos

 

Aqui, é equivalente a

 

que é uma equação linear de 1.ª ordem cuja solução geral é

 

ou seja,

y = kx−1 −1 + x In x.

Fazendo k = 0, temos a outra solução

φ −1 (x) = x In x, x > 0.

2

A solução geral da equação dada é

 

EXEMPLO 2. Resolva

xy″ + y = 0, x > 0.

Solução

Vamos tentar uma solução dada por uma série de potências:

 

Temos

 

Substituindo na equação, resulta

 

e, portanto,

 

Devemos ter, então,

Daí

 

 

ou seja,

 

Segue que

 

(Confira.) Assim, tomando-se a = 1, 1

 

é uma solução da equação dada. Como

 

resulta que a série dada converge para todo x. (Só para treinar, sugerimos ao leitor verificar, por substituição direta na equação, que φ (x) é realmente 1 solução da equação dada.) Vamos, agora, procurar outra solução que seja linearmente independente com φ . A pergunta que surge naturalmente é a 1 seguinte: como deve ser a forma desta outra solução? Pela fórmula de Abel-Liouville, existe outra solução φ (x) tal que 2

Daí

φ (x)φ′ (x) − φ′ (x)φ (x) = 1. 1 2 1 2

Para x > 0 e próximo de zero temos

 

e, portanto,

 

Por outro lado, φ 2 (x) deve ser da forma

1

 

e

 

É razoável então esperar que

 

e Multiplicando-se os dois membros por φ (x), resulta 1

 

É razoável, então, tentar-se uma outra solução da forma

 

É o que faremos a seguir. Calculemos φ″ (x) Temos 2

 

Substituindo na equação e lembrando que φ é solução, resulta 1

 

Daí

 

e, portanto,

 

Daí

α = −1 0

e

Daí

 

 

ou seja,

 

Para k ≥ 3,

 

Substituindo em , resulta

 

Fica a seu cargo concluir que, tomando-se α = 0, teremos para todo k ≥ 2 1

 

Assim,

 

é outra solução da equação dada e linearmente independente com φ . A 1 solução geral da equação dada é

y = k φ (x) + k φ (x). 1 1 2 2

(Observe que a série

 

converge para todo x. Verifique.)

■

 

O próximo exemplo mostra um outro modo de reduzir uma equação diferencial linear de 2.ª ordem a uma de 1.ª ordem quando se conhece uma solução.

EXEMPLO 3. Suponha que y = φ(x), x ∈ I, seja uma solução de

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0.

Mostre que a mudança de variável

y = φ(x) u, u = u (x),

reduz a equação dada a uma de 1.ª ordem na função incógnita v = u′ (x).

Solução

De y = φ(x) u resultam

y′ = φ(x) u + φ(x) u′

e