10.7 Redução de uma equação autônoma de 2.ª ordem a uma equação de 1.ª ordem

10.7 REDUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO AUTÔNOMA DE

2.ª ORDEM A UMA EQUAÇÃO DE 1.ª ORDEM

Uma equação diferencial de 2.ª ordem é uma equação da forma

 

Se a função F não depender da variável independente t (respectivamente x) então diremos que a equação é uma equação diferencial autônoma de 2.ª ordem.

EXEMPLO 1. é uma equação de 2.ª ordem não

autônoma pois depende da variável independente x.

 

■

 

EXEMPLO 2. é uma equação de 2.ª ordem autônoma,

pois a variável independente x não aparece explicitamente na equação.

■

 

EXEMPLO 3. é uma equação autônoma de 2.ª ordem

pois a variável independente t não aparece explicitamente na equação.

■

Como vimos, uma equação diferencial autônoma de 2.ª ordem é uma equação que pode ser colocada na forma

 

onde a variável independente t (respectivamente x) não ocorre no 2.º membro. Suponhamos, agora, que x = x(t) seja uma solução desta equação.

Em um intervalo I em que mantiver o mesmo sinal, tal solução será, 1

neste intervalo, estritamente crescente ou estritamente decrescente, logo,

inversível e então poderemos considerar a inversa t = t(x), x ∈ I , onde I é 2 2

o intervalo {x(t)| t I }. Fazendo, então, , t = t(x), teremos . 1

Por outro lado, pela regra da cadeia, , ou seja, , t =

t(x).

 

Reduzindo uma equação autônoma de 2.ª ordem a uma

equação de 1.ª ordem

 

Fazendo

 

Substituindo na equação, obtemos a equação de 1.ª ordem

Observação. No caso da equação , faz-se a mudança

 

, e daí segue .

 

EXEMPLO 4. Uma partícula de massa m 1 desloca-se sobre o eixo x sob ação da única força . Suponha x(0) = 1 e v(0) = 0.

a) Determine a relação entre v e x.

b) Discuta o movimento.

c) Determine a posição da partícula no instante t.

Solução

Pela segunda lei de Newton, o movimento é regido pela equação autônoma

 

a) Fazendo , teremos e, portanto, .

Substituindo na equação, resulta

 

Integrando, obtemos

 

Para que as condições iniciais sejam satisfeitas, basta tomar k = 1. Assim, a relação entre v e x é dada por v 2 2 + x = 1. b) No instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1. Sob a ação da força a partícula se desloca em direção à origem; passando a origem, a força começa a agir contra o movimento e, na posição x = − 1, a velocidade se torna zero; em seguida, a partícula é puxada novamente para a origem, passa novamente por ela até atingir novamente a posição x = 1 e daí em diante passa a descrever um movimento de vaivém entre as posições x = 1 e x = − 1. Observe que na posição x = 0 a intensidade da velocidade é máxima e igual a 1.

c) Temos no movimento de x = 1 a x = − 1 e no

movimento de x = − 1 a x = 1. A solução constante x = 1 está descartada, pois, na mudança de variável supusemos v ≠ 0 e, também porque x = 1 não é solução da equação dada. Como o movimento inicia-se em x = 1, vamos considerar a equação . Temos

e, portanto, arc sen x = − t + k.

Da condição inicial x(0) = 1, segue , ou seja, x

= cos t, 0 ≤ t ≤ π. Para o movimento de x = − 1 a x = 1 vamos considerar a equação com a condição inicial x = − 1 para t = π. Temos

 

Para que a condição inicial seja satisfeita, devemos ter

arc sen (−1) = π + 1 ou seja −

e, portanto, . Segue que o movimento de x = − 1 a x = 1 é descrito

pela função = cos t, π ≤ t ≤ 2π. Repetindo este

procedimento, conclui-se que x = cos t, t em é a solução da equação.

■

 

EXEMPLO 5. Uma partícula de massa m = 1 descreve um movimento sobre o eixo x sob a ação da única força , x > 0, com as

condições iniciais x(0) = 1 e v(0) = v , v > 0. 0 0

a) Determine a relação entre x e v.

b) Para que valores de v a partícula retorna à posição inicial? Para que 0

valores de v a partícula não retorna à posição inicial? 0

c) Qual o menor valor de v para que a partícula não retorne à posição 0

inicial? Esta menor velocidade é denominada velocidade de escape.

Solução

a) A equação que rege o movimento é

 

Com a mudança de variável , a equação se transforma na equação

de 1.ª ordem

 

Integrando, obtemos

 

Para que as condições iniciais sejam satisfeitas devemos ter

Temos, então,

 

 

b) A partícula retornará à posição inicial se para algum valor de x ocorrer v = 0. Então, para que a partícula retorne à posição inicial deveremos ter

, x > 0. Para a velocidade será zero, e a partir daí

estará retornando à posição inicial. Para a velocidade nunca se

anulará e, portanto, não poderá retornar à posição inicial. c) é a velocidade de escape.

■

 

EXEMPLO 6. (Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa m deslocase sobre o eixo x sob a ação da força resultante onde

f(x) é suposta definida e contínua no intervalo J. Seja U(x) uma primitiva de − f(x). Esta primitiva U(x) é denominada função energia potencial para f. Mostre que se a posição da partícula for dada por x = x(t), t ∈ I, então existirá uma constante c, tal que para todo t no intervalo I, tem-se

 

o que significa que a soma da energia cinética com a energia

potencial U(x) permanece constante durante o movimento.

Solução

Pela 2.ª lei de Newton, o movimento da partícula é regido pela equação

De segue, pelo que vimos anteriormente, . Substituindo

 

na equação anterior, obtemos a equação de variáveis separáveis.

 

Integrando e lembrando que U′ (x) = − f(x) resulta

 

Outro modo de se chegar a esta equação é o seguinte: multiplicando-se os dois membros da equação m = f(x) por , obtemos m − f(x) = 0. Temos, então,

 

De U′ (x) = − f(x) e, tendo em vista, m − f(x) = 0, segue

 

Logo, existe uma constante c, tal que, para todo t ∈ I,

 

Tenho um carinho muito grande pela equação do próximo exemplo, pois foi com ela que nasceu a ideia para a minha tese de doutorado e para vários dos meus artigos.

EXEMPLO 7. Suponha que o movimento de uma partícula no eixo x seja regido pela equação + x + x = 0;

a) Determine a relação entre v e x, v ≠ − 1.

b) Mostre que a relação entre v e x, v > − 1, é dada por uma curva fechada. c) Conclua que toda solução x = x(t), com v > − 1, é uma função periódica. d) Mostre que se a derivada de x = x(t) for igual a − 1 para todo t, então x = x(t), com t em , será solução da equação.

Solução

a) Trata-se de uma equação de 2.ª ordem autônoma. Fazendo

teremos, também, Substituindo na equação obtemos a

equação de primeira ordem e de variáveis separáveis

 

Supondo v ≠ − 1 e separando as variáveis obtemos

 

Integrando, vem

 

De

 

resulta

b) Para v > − 1, temos v + 1 > 0. Assim, para v > − 1 a relação entre x e v será dada pela equação

 

 

Como v − In(v + 1) > 0, para v > − 1, (verifique), resulta que para v > − 1 deveremos ter k > 0. Temos, ainda,

 

Segue, então, que para cada v > − 1,

 

Para v = 0, . Segue que

 

Temos, ainda,

 

e

 

Segue que para cada , existe um único v ∈ [− 1, 0] e um único v ∈ [− 0, ∞ [ tal que ; do mesmo modo, para cada

existe um único v ∈ [− 1, 0] e um único v ∈ [− 0, ∞ ] tal que

. Deste modo, para v > − 1, a curva

 

é fechada. Trabalhando no plano xv, segue que para cada k > 0 temos uma curva fechada localizada no semiplano v > − 1. Observe, ainda, que para 0

<k < k a região 1 2

está contida na região ou seja,

o “raio” da região aumenta à medida que k aumenta.

 

c) Suponhamos e v(0) = 0. Então, a relação entre x e v é dada por

 

Como , segue que , para

, o que significa que inicialmente a partícula é atraída para a

origem, atingindo velocidade com intensidade máxima na origem, em seguida, a partícula vai perdendo velocidade até que a velocidade se anule na posição . Em seguida, com velocidade positiva, ela retorna para

a posição inicial . E, a partir daí, a partícula continua descrevendo

um movimento de vaivém entre as posições e . O movimento será periódico onde o período é o tempo gasto para a partícula ir até a posição e retornar à posição . A intensidade da velocidade será máxima na posição x = 0.

d) De v(t) = − 1, para todo t, segue x = − t + c, c constante, que é solução da equação dada. (Confira.)

■

 

A equação é um caso particular da equação

onde g(x) é suposta contínua e com o mesmo sinal que x.

Utilizando esta equação como comparação, foi possível obter vários resultados qualitativos sobre as soluções da equação mais geral

equação esta denominada equação de Liénard que é uma

equação muito estudada pela sua importância tanto para a física como para várias outras ciências. Observamos que estudar qualitativamente uma equação significa buscar informações sobre as soluções sem precisar resolver a equação. Veja bibliografia, Guidorizzi (1988), (1991), (1993) e (1996).

Exercícios 10.7

 

1. Sendo determine a relação entre v e x.

 

2. Um corpo de massa m constante é lançado no espaço e supõe-se que a

única força atuando sobre ele seja o seu peso que, pela lei do inverso do quadrado de Newton, é proporcional ao inverso do quadrado da sua distância ao centro da terra. Sendo x a distância do corpo à terra e