9.4 Convergência de série de Fourier de função de classe C2 por partes

que a convergência é uniforme neste intervalo, onde

 

8. 2 Seja f : [−π, π] → uma função ímpar, contínua, de classe C por

partes e tal que f (π) = 0. Prove que, para todo x em [−π, π],

 

e que a convergência é uniforme neste intervalo, onde

 

9. Seja F : → dada por

 

onde a série do 2.º membro é a série de Fourier de f (x) = x5 4 −πx, −π ≤ x ≤ π.

a) Prove que F é contínua e esboce o gráfico. b) Prove que, para todo x,

 

(Sugestão para o item b: Utilize o Exercício 5 da Seção 9.1.)

 

9.4. CONVERGÊNCIA DE SÉRIE DE FOURIER DE

F 2 UNÇÃO DE C LASSE C POR PARTES

Sejam a , n ≥ 0 e b , n ≥ 1 reais dados. Como já sabemos, se, para todo x n n

∈ ,

 

então a função f será periódica de período 2π. (Este fato decorre de as funções cos nx e sen nx serem periódicas de período 2π.)

Seja f : → uma função contínua e periódica de período 2π. Suponhamos que f seja de classe C 2 por partes em [−π, π]. Do que aprendemos nas Seções 9.2 e 9.3, resulta que, para todo x ∈ ,

 

sendo a convergência uniforme em , onde os a e b são os coeficientes de n n Fourier de f.

Observamos que uma função f : → , periódica de período 2π, fica completamente determinada pelos seus valores no intervalo [−π, π]. (Por quê?)

EXEMPLO 1. Seja f : → , periódica do período 2π, dada por f (x) = | x |, −π ≤ x ≤ π. Esboce o gráfico de f.

Solução

A função f do exemplo acima é contínua e periódica de período 2π; além disso é de classe C2 por partes em [−π, π]. Logo, sua série de Fourier converge uniformemente a f em . A série de Fourier de f é

 

Segue que, para todo x ∈ ,

 

sendo a convergência uniforme em . Seja

 

Observe que, para todo natural n ≥ 1, s = s (x) é uma função par. Para n n n suficientemente grande, o gráfico de s = s (x) tem o aspecto mostrado na n n figura a seguir.

Quando n tende a +∞, os gráficos de s = s (x) vão “encostando” cada vez n n mais no gráfico de f.

 

■

 

EXEMPLO 2. Seja f : → , periódica de período 2π, dada por f(x) = x, −π < x ≤ π.

a) Esboce o gráfico de f.

b) Determine uma série de Fourier que convirja uniformemente a f em

todo intervalo fechado da forma [(2n − 1) π + a, (2n + 1) π − a], com n

inteiro e a um real dado, 0 < a < π.

Solução

b) Seja a ∈ ]0, π[ um real dado. Consideremos a função g : → , a

periódica com período 2π, cujo gráfico é o apresentado na figura abaixo.

 

A função g 2 é contínua; além disso, é de classe C por partes no intervalo

a

[−π, π]. Observe que g (−π) = g (π) 0. A série de Fourier de g converge a a a uniformemente a f em todo intervalo fechado da forma

[(2n − 1) π + a, (2n + 1) π − a]

com n inteiro. Esta afirmação decorre do fato de que a série de Fourier de ga converge uniformemente a g em e g coincide com a f em cada intervalo a a da forma acima descrita. Observe que os coeficientes de Fourier de g a tendem para os coeficientes de Fourier de f quando a tende a zero. Desta observação e do que vimos acima resulta ser razoável esperar que a série de Fourier de f convirja uniformemente a f em todo intervalo fechado em que f for contínua. O teorema que enunciaremos a seguir garante-nos que isto realmente acontece.

■

 

Antes de enunciar o próximo teorema, introduziremos as seguintes notações. Suponhamos que a função f admita limites laterais finitos no ponto p. O limite lateral à direita será indicado por f (p+) e o lateral à esquerda, por f (p −):

 

e

 

Teorema. Seja f : → periódica com período 2π e de classe

C2 por partes em [−π, π], mas não necessariamente contínua neste intervalo. Sejam a , n ≥ 0 e b , n ≥ 1 os coeficientes de Fourier de f. n n Então, para todo x real, tem-se: se f for contínua em x,

 

se f não for contínua em x,

Além disso, a convergência será uniforme em todo intervalo

fechado em que a f for contínua.

 

Observação. O teorema acima ainda será verdadeiro se a hipótese “classe C 2 1 por partes” for trocada por “classe C por partes”.

A demonstração deste teorema é deixada para a Seção A2.3 do Apêndice 2.

EXEMPLO 3. Seja f : → a função periódica, com período 2π, dada por

 

Esboce o gráfico da função F: → dada por

 

onde a série do 2.° membro é a série de Fourier de f.

Solução

Como f é periódica de período 2π e de classe C2 por partes em [−π, π], podemos aplicar o teorema anterior. Assim,

 

Segue que F: → é a função periódica de período 2π dada por

(Observe que a função f só é descontínua nos pontos da forma 2nπ, n inteiro, e nestes pontos, o limite lateral à direita é zero e o lateral à esquerda é 1; assim, em todo x em que f é descontínua

 

 

Para mais informações sobre as séries de Fourier e suas aplicações sugerimos ao leitor as referências bibliográficas 12, 16 e 19.

Exercício 9.4

 

Esboce o gráfico da função F : → dada por

 

onde a série do 2.° membro é a série de Fourier da função f : → , periódica de período 2π, dada por