8.3 Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como soma de uma série de potências

8.3. CONTINUIDADE, INTEGRABILIDADE E

DERIVABILIDADE DE FUNÇÃO DADA COMO

SOMA DE UMA SÉRIE DE POTÊNCIAS

Seja a série de potências , com raio de convergência R, R > 0 ou

R = +∞. Vamos provar, inicialmente, que tal série converge uniformemente em todo intervalo fechado [–r, r], r > 0, contido no intervalo de convergência ]–R, R[. De fato, como r ∈ ]–R, R[, a série converge absolutamente para x = r. Por outro lado, para todo x ∈ [–r, r] e para todo natural n,

 

Pelo critério M de Weierstrass, a série converge uniformemente em [–r, r].

 

Teorema 1. Seja a série de potências com raio de

convergência R, R > 0 ou R = +∞. Então a função f dada por

 

é contínua em ]–R, R[.

 

Demonstração

Para todo x ∈ ]–R, R[, existe r > 0, com | x | < r < R. A continuidade de f

em x segue da convergência uniforme de em [–r, r].

■

 

Teorema 2. (Integração termo a termo). Seja a série de

potências com raio de convergência R, R > 0 ou R = +∞.

Seja f dada por . Então, para todo t ∈ ]–R, R[,

 

ou seja,

 

Demonstração

Fica a cargo do leitor.

■

 

Teorema 3. (Derivação termo a termo). Seja a série de

potências , com raio de convergência R, R > 0 ou R = +∞.

Seja f a função dada . Então, para todo x ∈ ]–R, R[,

Demonstração

 

Veja Exercício 2 desta seção.

■

 

Observações

1. Os três teoremas continuam válidos se substituirmos

 

por

 

2. Seja a série com raio de convergência R, R > 0 ou R +∞. Seja

f dada por

 

Seguindo o mesmo raciocínio utilizado na demonstração do teorema 3 (derivação termo a termo) prova-se que f admite derivadas de todas as ordens em ]–R, R[ e que

EXEMPLO 1. Seja a série de potências com raio de convergência

 

R, R > 0 ou R = +∞. Considere a função f dada por

 

Mostre que, para todo . Conclua que

 

Solução

 

Logo, f(0) = a . Temos 0

e, portanto,

 

Daí, para todo k ≥ 1, f( ) ( ) k n k = (0) k! a . Ou seja, f (0) = n! a , para todo n ≥ 1; n

logo,

 

para todo n ≥ 1. Segue que

 

EXEMPLO 2. Suponha que a série de potências tem um raio de

convergência não nulo R. Suponha, ainda, que existe r > 0, com r < R, tal que, para todo x ∈ ]–r, r[,

 

Prove que, para todo n, a 0. n

Solução

Seja . Segue da hipótese que f(x) = 0, para todo x ∈ ]–r,

r[. Então, f( ) n 0 (0) = 0, para todo n ≥ 1. Como a = f(0) = 0, segue, tendo em vista o exemplo anterior, que a = 0 para todo natural n. n

■

O exemplo anterior conta-nos que se for identicamente nula

num intervalo ]–r, r[, então todos os coeficientes a terão que ser nulos. Ou n seja:

 

é equivalente a

 

a = 0 para todo natural n. n

 

EXEMPLO 3. Determine uma solução da equação diferencial

 

que satisfaça as condições iniciais y (0) = 1 e y′ (0) = 0.

Solução

Tentemos uma solução do tipo onde os a são coeficientes a serem determinados. Sendo y = y(x) solução de n

a série de potências deve ter um raio de convergência não nulo R. Temos

 

Como estamos supondo que y = y(x) é solução de , devemos ter, para todo x ∈ ]–R, R[,

 

ou

 

ou ainda

 

Daí, para todo x ∈ ]–R, R[,

 

Pelo exemplo anterior, todos os coeficientes deverão ser nulos. Devemos ter, então, para todo n ≥ 1,

 

Portanto, EXEMPLO 4. Ache uma fórmula para calcular a soma

De y(0) = 1 e y′ (0) = 0 segue que a = 1 e a = 0. (Observe que y(0) = a 0 10 e y′ (0) = a .) Segue que os únicos termos diferentes de zero são os da forma 1

a , n ≥ 1. Temos, para todo n ≥ 1, 3n

 

Tendo em vista que a = 1, 0

 

Assim,

 

Fica a seu cargo verificar que a série acima converge para todo x. (Sugestão: Faça x3 = u e verifique que a série obtida converge para todo u. Ou, então, aplique diretamente o critério da razão para séries de termos quaisquer.) O fato de a função dada em ser solução de decorre do modo como os a foram calculados. Sugerimos, entretanto, que como n

exercício você verifique, por substituição direta na equação, que a função acima é realmente solução da equação dada e que satisfaz as condições iniciais dadas.

■

 

Solução

 

O raio de convergência da série (verifique). Seja

 

Para todo t ∈ ]−1, 1 [,

 

e, portanto,

 

Assim, para todo t ∈ ]−1, 1[,

 

Como f é contínua em [−1, 1[, pelo teorema fundamental do cálculo

 

Derivando, então, em relação a t os dois membros de resulta Portanto, para | x | < 1,

 

Como

 

resulta

 

ou seja,

 

Exercícios 8.3

 

1. Suponha que tem raio de convergência R, R > 0 ou R = +∞.

Prove que o raio de convergência de é, também, R.

 

(Sugestão: Suponha, por absurdo, que o raio de convergência de

seja estritamente maior que R e aplique o teorema 2. Veja,

também, item c do Exercício 2.)

 

2. Seja com raio de convergência R, R > 0 ou R = +∞.