10.3 Equações de variáveis separáveis: método prático para a determinação das soluções não constantes

10.3 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS:

 

MÉTODO PRÁTICO PARA A DETERMINAÇÃO

DAS SOLUÇÕES NÃO CONSTANTES

Consideremos a equação de variáveis separáveis

 

com g(x) e h(y) definidas e contínuas nos intervalos abertos I e I , 1 2 respectivamente. Lembre-se de que uma solução desta equação é uma função y = y(x), x em um intervalo aberto I, com I ⊂ I , tal que para todo x 1 em I

 

Uma pergunta que surge espontaneamente é a seguinte: como deveremos proceder para determinar uma solução y = y(x), x em um

intervalo aberto I, satisfazendo a condição inicial (x , y ), com x em I e y 0 0 0 10 em I ? Bem, se h(y ) = 0, então a função constante y(x) = y , x ∈ I , será 2 0 0 1 uma solução. Se h(y ) ≠ 0, y = y(x ), tendo em vista a continuidade da 0 0 0 composta h(y(x)) e o teorema da conservação do sinal, poderemos supor h(y(x)) ≠ 0 para todo x em I. Desta forma a equação será equivalente a

Daí,

 

 

onde as integrais estão indicando primitivas particulares dos integrandos. Com a mudança de variável y = y(x) (dy = y′(x)dx) teremos

 

Para obter uma solução não constante e satisfazendo a condição inicial dada é só integrar e escolher k adequadamente. Tudo isso nos sugere o seguinte método prático para determinação de soluções não constantes:

 

Método prático para determinação de soluções não constantes

 

onde H(y) e G(x) são primitivas de e g(x) respectivamente. Observação. Pode ser provado que se g(x) for contínua em I e h′(y) 1 contínua em I então todas as soluções não constantes serão obtidas pelo 2

processo acima. (Veja Vol. 1, pág. 446, 5. a edição. Veja, também, o Cap. 14 deste volume.)

EXEMPLO 1. Resolva a equação 2 = xy.

 

Solução

Primeiro vamos determinar as soluções constantes.

h(y) = y 2 2 ; y = 0 ⇔ y = 0.

Assim, y(x) = 0 é a única solução constante. Vamos agora determinar as soluções não constantes.

 

Como g(x) e h′(y) = 2y são contínuas e tendo em vista a observação que precede este exemplo, resulta

é a família de todas as soluções da equação.

 

■

 

EXEMPLO 2. Com relação à equação do exemplo anterior, determine a solução que satisfaça a condição inicial dada.

a) y(1) = 0

b) y(0) = 1

c) y(0) = −1

Solução

a) A solução constante y(x) 0 satisfaz a condição inicial y(1) = 0. b) Como para x = 0 deveremos ter y = 1, vem

Segue que

 

satisfaz a condição inicial dada. (Lembre-se: o domínio de uma solução é sempre um intervalo; no caso em questão, tomamos , pois o

domínio deverá conter x = 0.)

 

Segue que

 

satisfaz a condição inicial dada.

■

 

EXEMPLO 3. Resolva = t2x

Solução

x(t) = 0 é a única solução constante.

Determinemos, agora, as soluções não constantes.

Daí,

 

 

Se onde k ≠ 0 é uma

constante real qualquer. A solução constante x(t) = 0 poderá ser incluída nesta família e, para isso, é só permitir que a constante k assuma, também, o valor zero. Deste modo,

com k uma constante real qualquer,

é a família de todas as soluções da equação.

■

 

EXEMPLO 4. Determine a função y = f(x), tal que f(1) = 1, que goza da seguinte propriedade: o coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x é igual ao produto das coordenadas do ponto de tangência.

Solução

Para todo x no domínio de f devemos ter

f′(x) = xf(x).

Assim, a função procurada é solução da equação

 

Como a solução constante y(x) = 0 não satisfaz a condição inicial dada, segue que a solução é uma função não constante. Sendo y = y(x) a solução procurada, a condição f(1) = 1 nos permite supor y(x) > 0. Temos

 

Da condição y = 1 para x = 1, resulta

 

A função procurada é, então,

 

EXEMPLO 5. Determine o tempo necessário para se esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m, cheio de água, admitindo que a água se escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 0,1 m, com uma velocidade m/s, sendo h a altura da água no tanque e g = 10

m/s2 a aceleração gravitacional.

Solução

Seja h = h(t) a altura da água no instante t. O volume V = V(t) de água no tanque no instante t será

V(t) = 4πh(t)

e assim

 

Por outro lado, supondo Δt suficientemente pequeno, o volume de água que passa pelo orifício entre os instantes t e t + Δt é aproximadamente igual ao volume de um cilindro de base πr2 (onde r é o raio do orifício) e altura v(t)Δt (observe que a água que no instante t está saindo pelo orifício, no instante t + Δt se encontrará, aproximadamente, a uma distância v(t)Δt do orifício, onde v(t) é a velocidade, no instante t, com que a água está deixando o tanque). Então, na variação de tempo Δt, a variação ΔV no volume de água será

 

É razoável, então, admitir que a diferencial de V = V(t) seja dada por

dV = −v(t)πr2dt.

ou que

 

De e resulta

 

Sendo , resulta que a altura h = h(t) da água no tanque é

regida pela equação

Temos

 

De h(0) = 5, resulta k = 400. Assim,

 

O tempo necessário para esvaziar o tanque será, então, de 400 segundos ou 6 min e 40 s.

■

 

EXEMPLO 6. Uma partícula move-se sobre o eixo x com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Sabe-se que no instante t = 0 a velocidade é de 2 m/s e, no instante t = 1, de 1 m/s.

a) Determine a velocidade v = v(t), t ≥ 0. b) Determine a função de posição x = x(t), t ≥ 0, supondo x(0) = 0.

Solução

a) O movimento é regido pela equação

 

onde a é a constante de proporcionalidade.

 

Segue que

Para t = 0, v = 2, assim

 

 

Para t = 1, v = 1, assim

 

Logo,

 

b) De

 

Tomando-se k = 0, a condição inicial x(0) = 0 estará satisfeita. Assim, x(t) = 2 ln(1 + t), t ≥ 0.

■

 

No próximo exemplo, vamos precisar da segunda lei de Newton que diz: a resultante das forças que agem sobre uma partícula é igual ao produto da massa da partícula pela sua aceleração.

 

Segunda lei de Newton

onde m é a massa, aceleração e resultante das forças que

atuam sobre a partícula.

 

Observação. No sistema internacional de unidades (SI) a unidade de comprimento é o metro (m), a de tempo o segundo (s), a de massa o quilograma (kg), a de força o newton (N) e a de trabalho o joule (J). Sempre que deixarmos de mencionar as unidades adotadas, ficará implícito que se trata do sistema SI.

EXEMPLO 7. Uma partícula de massa 1 kg desloca-se sobre o eixo 0x e sabe-se que sobre ela atuam uma força constante, paralela ao movimento, de 5 N e uma força de resistência, também paralela ao movimento, e cuja intensidade é igual à velocidade v. Sabe-se, ainda, que v(0) = 0 e x(0) = 0. Qual a posição da partícula no instante t?

Solução

Sendo x = x(t) a posição da partícula no instante t, pela 2.ª lei de Newton, a equação que rege o movimento é

 

pois, . Como v(0) = 0, para t próximo de zero teremos 5 − v > 0.

Podemos, então, supor 5 − v > 0 para todo t no domínio de x = x(t). Temos

 

De v(0) = 0, resulta k = − In 5. Segue que

5 − v = e−t−k − + In 5 − In 5 ou v = 5 − e = 5 − e e. t t

Como eIn 5 − = 5, v = 5(1 − e ), t ≥ 0. Temos, então, t

 

Para que a condição x(0) = 0 seja satisfeita, basta tomar k = − 5. Assim,

x = 5(t + e − − 1), t ≥ 0, t

é a posição da partícula no instante t.

■

 

Exercícios 10.3

 

1. Resolva

2. Determine y = y(x) que satisfaça as condições dadas.

 

3. Suponha que V = V(p), p > 0, satisfaça a equação , γ

constante. Admitindo que V = V γ , V > 0, para p = p , mostre que Vp

1 1 1

= V γ p , para todo p > 0.

1 1

4. O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao

gráfico de y = f(x), é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que , determine f.

5. Um corpo de massa 10 kg é abandonado a uma certa altura. Sabe-se

que as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional à velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após ter sido abandonado a sua velocidade é de 8 m/s, determine a velocidade no instante t. Suponha que a aceleração gravitacional seja