13.4 Solução geral de uma equação diferencial linear de 2.ª ordem homogênea e de coeficientes variáveis

6. Sejam f, g: I → deriváveis até a 2.ª ordem no intervalo I. Suponha

que f″ e g″ sejam contínuas em I. Prove que se o wronskiano de f e g for diferente de zero em todo x ∈ I, então existirá uma equação

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0,

com p e q contínuas em I, que admitirá f e g como soluções. Determine tal equação.

7. As funções f e g dadas são linearmente dependentes ou linearmente

independentes? Justifique.

a) f (x) = sen x, x ∈ e g (x) = cos x, x ∈ b) 3 3 f e g são definidas em e dadas por f (x) = x e g (x) = | x | c) 2 f (x) = ln x, x > 0 e g (x) = ln x, x > 0 d) 2 3 f, g : → dadas por f (x) = sen 3x e g (x) = 3 sen x cos x − sen

x

e) f = (x) x, x > 0 e g (x) = ln x, x > 0

 

13.4. SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO

DIFERENCIAL LINEAR DE 2.ª ORDEM

HOMOGÊNEA E DE COEFICIENTES

VARIÁVEIS

 

Teorema. Sejam f, g: I → soluções linearmente

independentes da equação

onde p e q são supostas contínuas no intervalo I. Então

 

y = Af (x) + Bg (x) (A, B ∈ )

é a solução geral de .

 

Demonstração

Já vimos que se f e g forem soluções, então

 

será, também, solução para quaisquer reais A e B. Vamos provar a seguir que qualquer solução de é da forma . Seja y = h (x), x ∈ I, solução de

. Seja x ∈ I. Como f e g são soluções linearmente independentes de , 0

pelo teorema da seção anterior, o wronskiano de f e g será diferente de zero

em todo x ∈ I, em particular, será diferente de zero para x = x . Segue que 0 existem reais α e β tais que

 

Como h (x) e αf (x) + βg (x) são soluções de que satisfazem as mesmas condições iniciais

 

y (x ) = h (x ) e y′ (x ) = h′ (x ), 0 0 0 0

resulta do teorema da Seção 9.5 que, para todo x ∈ I,

h (x) = αf (x) + βg (x).

■

 

EXEMPLO 1. Sejam f e g definidas no intervalo ]1, +∞[ e dadas por f (x) = ex e g (x) = x.

a) Determine uma equação y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0 que admita f e g

como soluções.

b) Ache a solução geral da equação encontrada no item a.

Solução

a) Devemos determinar p e q de modo que, para todo x > 1,

 

ou seja,

 

admite as funções dadas como soluções.

b) Temos

ou seja,

 

W (x) = ex (1 − x).

Logo, W (x) ≠ 0 para x > 1. As funções dadas são linearmente independentes.

y = Aex + Bx, x > 1

é a solução geral da equação do item a.

■

 

EXEMPLO 2. Determine a solução geral de y″ + y = 0.

Solução

y = cos x e y = sen x são soluções. (Verifique.)

 

Segue que as soluções acima são linearmente independentes. A solução geral é

y = A cos x + B sen x,

resultado este que já conhecemos há muito tempo!

■

EXEMPLO 3. Resolva a equação

x2y″ + xy′ − 4y = 0, x > 0.

Solução

A forma da equação sugere-nos procurar solução da forma y = x α, x > 0. Temos

y′ = αx −1 −2 e y″ = α(α −1)x. α α

Substituindo na equação e simplificando, obtemos

α(α −1) xα + αxα α − 4x = 0, x > 0;

daí

α 2 − 4 = 0

e, portanto, α = ± 2. As funções y = x 2 −2 e y = x , x > 0, são soluções. Como o wronskiano de tais soluções é diferente de zero para x > 0, segue que elas são linearmente independentes. A solução geral da equação dada é

 

■

 

Exercícios 13.4

 

1. Identifique as equações lineares de 2.ª ordem.

2. Determine a solução geral

 

 

3. Determine uma equação y″ + p(x) y′ + q(x) y = 0 que admita como

soluções as funções y = x, x > 0 e y = xex, x > 0. Determine a solução geral da equação encontrada.

4. Suponha que y = f (x), x ∈ I, seja solução da equação

 

onde p e q são supostas contínuas no intervalo I. Suponha que, para todo x ∈ I, f (x) ≠ 0. Prove que toda solução y = g (x), x ∈ I, da equação linear de 1.ª ordem

 

é também solução de . (Na equação anterior, ∫ p(x) dx está

representando uma particular primitiva de p (x).)

5. 2 Considere a equação (x ln x) y″ − xy′ y = 0, x > 1.

a) Verifique que y = x, x > 0, é solução. b) Utilizando o exercício anterior, determine outras soluções.