Um Curso de Cálculo, Volume 4
2.2 Critério de convergência para série alternada
2.2. CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIE
ALTERNADA
Por uma série alternada entendemos uma série do tipo
onde a > 0 para todo natural k. As séries abaixo são exemplos de séries k
alternadas:
Observe que
Critério de convergência para série alternada. Seja a série
alternada Se a sequência a for decrescente e se k
então a série alternada será convergente.
Demonstração A demonstração será baseada na propriedade dos intervalos encaixantes. Inicialmente, observamos que a sequência das somas parciais de ordem par é decrescente. De fato,
e, portanto,
Isto decorre do fato de a sequência a ser, por hipótese, decrescente e, n portanto, a − a ≥ 0. (Veja: 2n − 1 2n
Por outro lado, a sequência das somas parciais de ordem ímpar é crescente:
Temos, ainda, para todo natural n, Logo, para todo natural n, s > s . Temos, então, a sequência de 2n 2n + 1
intervalos encaixantes
Da hipótese resulta que a amplitude a do intervalo [s , 2n + 1 2n + 1 s ] tende a zero quando n tende a +∞. Pela propriedade dos intervalos 2n
encaixantes (veja Vol. 1) existe um único s tal que, para todo natural n,
Daí, para todo natural n, s está entre s e s e, portanto, n n + 1
De resulta
(A desigualdade acima estabelece uma avaliação para o módulo do erro que
se comete ao aproximar a soma s pela soma parcial s : n
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Pela demonstração acima, Como
, resulta
Se as séries forem convergentes, teremos
Ou seja, s será a diferença entre a soma dos termos de ordem par e a soma dos termos de ordem ímpar.
EXEMPLO. A série é alternada. Como a sequência
é decrescente e segue, pelo teorema
acima, que a série dada é convergente.
■
Exercícios 2.2
1. Mostre que a série dada é convergente.
2. a) Mostre que
b) Calcule a soma da série
(Sugestão: Lembre-se de que
c) Sendo determine n para que se tenha