6.2 Convergência uniforme

2. Seja f , n ≥ 1, uma sequência de funções definidas em A. Seja B ⊂ A. n

Suponha que, para todo x ∈ B e para todo > 0, existe n (que pode 0 depender de de x) tal que

 

Mostre que existe f : B → tal que, para todo x ∈ B,

f (x) = f(x) n

(Sugestão: Utilize o critério de Cauchy para convergência de sequência numérica.)

 

6.2. CONVERGÊNCIA UNIFORME

Quando dizemos que a sequência de funções f converge a f em B, isto n significa que, para todo x ∈ B e para todo > 0, existe n (que pode 0 depender de x e de ) tal que

 

n > n ⇒ | f (x) − f(x)| < . 0 n

Pois bem, quando acontecer de o n só depender de , diremos que a 0 convergência é uniforme.

 

Definição. Seja f uma sequência de funções definidas em A e seja n

f : B → , com B ⊂ A. Dizemos que a sequência de funções fn converge uniformemente a f em B se, para todo > 0 dado, existir

um natural n (que só dependa de ) tal que, para todo x ∈ B, 0

n > n ⇒ | f (x) − f(x)| < . 0 n

 

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE. Segue da definição acima que se a sequência de funções f convergir uniformemente a f em B, então, para todo n

x ∈ B, a sequência numérica f (x) convergirá a f(x), isto é, n

f(x) = f (x), x ∈ B. n

A condição “para todo x ∈ B,

n > n ⇒ | f (x) − f(x)| < ” 0 n

é equivalente a “para todo x ∈ B,

n > n ⇒ f(x) − < f (x) < f(x) + ”. 0 n

Assim, a sequência de funções f converge uniformemente a f em B se, n para todo > 0, existir um natural n (que só dependa de ) tal que, para 0 todo n > n , o trecho do gráfico de f , correspondente a x ∈ B, permanecer 0 n dentro da faixa determinada pelos gráficos das funções y = f(x) − e y = f (x) + , com x ∈ B.

 

EXEMPLO 1. Considere a sequência de funções f n , n ≥ 1, onde f (x) = x,

n n

e seja f (x) = 0 para x ∈ . Prove que a sequência de funções fn

converge uniformemente a f em .

 

Solução

Precisamos provar que, para todo > 0 dado, existe n (que só dependa 0 de ) tal que, para todo x ∈

 

n > n n ⇒ | x − 0| < .

0

Temos

Deste modo, para se ter | xn| < , para todo x ∈ , basta que < .

Tomandose, então, n tal que < (observe que tal n só depende de ) 0 0 resulta

n > n n ⇒ | x| <

0

para todo

 

Portanto, a sequência dada converge uniformemente a f em .

 

EXEMPLO 2. A sequência f n , n ≥ 1, onde f (x) = x, converge

n n

uniformemente a f (x) = 0 em ] − 1, 1[? Por quê?

Solução

Para todo n ≥ 1, existe x ∈] − 1, 1[, tal que

 

pois n x = 1. Deste modo, não existe n tal que, para todo x ∈ ] − 1, 1[,

0

 

Segue que a sequência dada não converge uniformemente a f (x) = 0 em ] − 1, 1[.

Observe que, para todo x ∈ ] − 1, 1[,

f (x) = 0. n

Deste modo, a sequência de funções f n (x) = x converge, em ] − 1, 1[, à

n

função f(x) = 0, mas a convergência não é uniforme.

■

 

EXEMPLO 3. Seja a sequência f , n ≥ 1, onde f (x) = n sen . n n

a) Verifique que tal sequência converge em à função f(x) = x, mas não uniformemente.

b) Prove que a sequência converge uniformemente a f (x) x em [ − r, r], onde r > 0 é um real dado.

Solução

a) Para todo x real,

 

(Veja Exemplo 2 da Seção 6.1.)

 

Se a convergência fosse uniforme, dado > 0 existiria n (que só depende 0 de ) tal que

para todo x real. Como, para todo n > n0

 

 

resulta que a convergência não é uniforme.

b) Vamos provar, inicialmente, que, para todo natural n ≥ 1, a função

 

é crescente em [0, +∞[. De fato,

h′(x) = 1 − cos ≥ 0

para todo x ≥ 0. Logo, h é crescente em [0, +∞[. Segue que, para todo x ∈ [0, r],

 

Como

 

dado > 0, existe n tal que 0

 

Segue que, para todo x ∈ [ −r, r],

Portanto, a sequência converge uniformemente a f (x) = x em [ [− r, r]. (Tente enxergar este fato graficamente.)

 

■

 

Exercícios 6.2

 

1. Para cada n ≥ 1, seja f (x) = n

a) Determine o domínio da função f dada por

 

b) Esboce os gráficos de f e das f . n

c) f , n ≥ 1, converge uniformemente a f em ]0, +∞[? E em [1, +∞[? n

2. 2 n Para cada n ≥ 1, seja f (x) = 1 + x + x + ... + x.

n

a) Qual o domínio da função f dada por

 

b) A sequência f , n ≥ 1, converge uniformemente a f em [0, 1[? E n

em [0, r], com 0 < r < 1?

3. para cada n ≥ 1, seja f (x) = . n

a) Determine o domínio da função f dada por

f(x) = f (x). n

b) Esboce os gráficos de f e das f . n

c) A sequência f , n ≥ 1, converge uniformemente a f em ]0, +∞[? E n

em

4. Para cada n ≥ 1, seja f (x) = n arc tg . n

a) Determine o domínio da função f dada por

 

b) Mostre que f , n ≥ 1, converge uniformemente a f em [ − r, r], n

onde r > 0 é um real dado.

c) Mostre que a sequência f não converge uniformemente a f em . n

5. Para cada n ≥ 1, seja f (x) = . Consider a função f dada por n

 

a) Esboce os gráficos de f e das f . n

b) f , n ≥ 1, converge uniformemente a f em ? E em [α, +∞[, com α n

> 0?

6. Para cada n ≥ 1, seja . Considere a função f dada por

 

a) Esboce os gráficos de f e das f . n

b) f converge uniformemente a f em [0, 1]? Justifique. n