8.2 Série de potências: raio de convergência

8.2. SÉRIE DE POTÊNCIAS: RAIO DE

CONVERGÊNCIA

 

Teorema. Seja a série de potências Existem apenas

três possibilidades:

I) ou converge apenas para x = 0;

 

II) ou converge absolutamente para todo x real;

 

III) ou existe um R > 0 tal que a série converge

absolutamente para todo x no intervalo ] − R, R[ e diverge para todo x, com | x | > R. Nos extremos − R e R a série poderá convergir ou não.

 

Demonstração

Seja A o conjunto de todos x ≥ 0 para os quais a série converge.

1.º Caso. A = { 0 }

Se a série convergisse para algum x ≠ 0, pelo teorema da seção anterior, 1 convergiria, também, para todo x ∈ ] − | x |, | x | [, que contradiz a hipótese 1 1 A = {0}. Logo, se A = {0} a série convergirá apenas para x = 0.

2.º Caso. A = ( = ] 0, +∞ [) + +

Para todo x real, existe x > 0 tal que 1

| x | < x . 1

 

Como a série é convergente, pelo teorema da seção anterior, a série

convergirá absolutamente para todo x, com | x | < x . Portanto, a série 1 converge absolutamente para todo x.

3.º Caso. A ≠ e A ≠ {0} +

Se, para todo r > 0, existisse um x > r tal que 1

 

fosse convergente, pelo teorema da seção anterior, a série seria absolutamente convergente para todo x (por quê?), que contradiz a hipótese

A ≠ . Portanto, se A ≠ , então A será limitado superiormente; logo, + +

admitirá supremo R:

R = sup A.

Como A ≠ {0}, teremos, evidentemente, R > 0. Sendo R o supremo de A,

para todo x com | x | < R, existe x ∈ A, com | x | < x . Resulta, novamente 1 1 do teorema da seção anterior, que a série converge absolutamente para todo x ∈ [ − R, R [. Fica a seu cargo verificar que a série diverge para todo x, com | x | > R.

■

O número R que aparece no teorema anterior denomina-se raio de convergência da série. Se a série convergir para todo x diremos que o raio de convergência é +∞: R= +∞. Se a série convergir apenas para x = 0, o raio de convergência é zero.

O próximo exemplo fornece-nos uma fórmula para o cálculo do raio de convergência de algumas séries.

 

EXEMPLO 1. Seja a série de potências e suponha a ≠ 0 para n todo n ≥ p, onde p é um natural fixo. Mostre que o raio de convergência de tal série é

 

desde que o limite exista, finito ou infinito.

Solução

Apliquemos o critério da razão para a série de termos quaisquer.

Se a série convergirá absolutamente para todo x. Neste

caso, o raio de convergência é +∞:

 

(Observe que

 

Se a série convergirá apenas para x = 0:

 

Se for finito e diferente de zero, a série convergirá

absolutamente para todo x tal que

 

ou seja, convergirá, para todo x, tal que

 

e divergirá para | x | > R.

■

O raio de convergência da série

 

onde a ≠ 0 para n ≥ p, é dado pela fórmula n

 

desde que o limite exista, finito ou infinito.

 

Sugerimos ao leitor estabelecer uma fórmula para o raio de convergência utilizando o critério da raiz.

EXEMPLO 2. Determine o domínio da função f dada por

 

Solução

é uma série de potências com a n = n. Determinemos seu raio

n

de convergência.

 

Como

resulta

 

 

Portanto, a série converge apenas para x = 0. O domínio de f é {0}. Tal função só está definida para x = 0.

■

 

EXEMPLO 3. Determine o domínio da função f dada por

 

Solução

 

é uma série de potências com

 

Determinemos seu raio de convergência.

 

A série converge para todo x ∈ ] −1, 1 [ e diverge para todo x, com | x | > 1. Vamos, agora, analisar o que ocorre para x = −1 e para x = 1.

Para x = −1 temos a série alternada que já

sabemos ser convergente.

Para x = 1 temos a série divergente

 

Conclusão. O domínio de f é o intervalo [−1, 1[.

■

 

EXEMPLO 4. Determine o domínio da função f dada por

 

Solução

 

é uma série de potências com

 

Temos

 

A série converge para todo x ∈ ] −1, 1[ e diverge para | x | > 1. Como

 

são convergentes (verifique), resulta que a série converge para todo x ∈ [−1, 1].

Conclusão. O domínio de f é o intervalo fechado [−1, 1].

■

EXEMPLO 5. Determine o domínio da função f dada por

 

Solução

 

A série converge para todo x; logo o domínio de f é .

■

 

Exercícios 8.2

 

1. Determine o domínio da função f sendo f (x) igual a

 

2. Seja α um real dado, com α > 0 e α não natural. Prove que a série

 

converge para | x | ≤ 1 e diverge para | x| > 1.

 

3. Considere a série de potências centrada em x ≠ 0. 0

Prove que existem apenas três possibilidades:

I) ou a série converge apenas para x = x ; 0 II) ou a série converge para todo x;

III) ou existe R > 0 tal que a série converge para todo x ∈ ] x − R, x 00

+ R [ e diverge para | x − x | > R. Nos extremos x − R e x + R a 0 0 0 série poderá convergir ou não.

(Sugestão: Faça u = x − x e aplique o teorema da seção.) 0

4. Considere a série de potências

Prove que o raio de convergência da série é o supremo do conjunto A.

5. Olhando para o Exercício 4 (e sem fazer cálculo!), diga qual é o raio

de convergência da série dada:

 

6. a) Suponha que | x | < r, r > 0, e que . Prove que

.

 

b) Prove que as séries de potências têm o

mesmo raio de convergência.