Um Curso de Cálculo, Volume 4
15.10 Equação do tipo x = f (x) (ou y'' = f (y))
x2y = xu' − xy.
A equação transforma-se na de variáveis separáveis
xu' − u = u f (u).
EXEMPLO.
Solução
A mudança de variável u = xy transforma em
ou seja,
Separando as variáveis e integrando, resulta
■
15.10. EQUAÇÃO DO TIPO
Seja x = x (t), t ∈ I, uma solução de . Multiplicando os dois membros de
por obtemos
Seja U(x) uma primitiva de −f (x). Temos, então,
Portanto, para todo t ∈ I,
Logo, existe uma constante c tal que, para todo t ∈ I,
que é uma equação de variáveis separáveis.
Algumas informações qualitativas sobre a solução x = x (t) podem ser obtidas através de .
EXEMPLO. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força resultante Sabe-se que
a) Determine o valor máximo de | x | b) Determine os valores máximos e mínimos de c) Descreva o movimento.
d) Estabeleça uma fórmula para o cálculo do tempo gasto pela partícula
para ir da posição x(0) = 0 até a posição que a velocidade se anule pela
1.ª vez.
Solução
Pela 2.ª lei de Newton,
Sendo f(x) = −6x5 5 , teremos −f(x) = 6x. Assim,
U(x) = x6.
Segue que
Como resulta c = 1. Assim, para todo t,
ou seja,
a) O valor máximo de | x | ocorre quando Logo, o valor máximo de | x
| é 1.
b) O valor máximo de ocorre na posição x = 0. Logo, o valor máximo é
O valor mínimo ocorre quando | x | for máximo. Logo, o valor
mínimo de é zero e ocorre nas posições 1 e − 1.
c) A partícula descreve um movimento oscilatório entre as posições 1 e − 1. d) Segue de que Seja t > 0 o instante em que a partícula atinge pela 1.ª vez a posição x = 1. 1