8.4 Exercícios do capítulo

a) Seja r ∈ ]0, R[. Prove que existe M > 0 tal que, para todo natural

n, ]a n r[ ≤M.

n

b) Seja r como acima. Verifique que, para todo n ≥ 1 e para todo x,

 

c) Prove que, para | x | < R, a série converge

absolutamente.

d) Prove que a série converge uniformemente em todo

intervalo [–r, r] contido em ]–R, R[.

e) Conclua que se , então, para todo x ∈ ]–R, R[,

 

8.4. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO

1. Mostre que, para | x | < 1,

 

(Sugestão: Verifique que , para | x | < 1, e integre termo

a termo de 0 a t.)

2. Seja p um natural qualquer. Mostre que, para | x | < 1, tem-se:

3. −3 Avalie ln 2 com erro inferior, em módulo, a 10.

 

(Sugestão: Verifique que e utilize o item b do exercício

anterior.)

4. −3 Avalie com erro inferior, em módulo, a 10.

a) ln 8

b) ln 3

c) ln 9

d) ln 32

5. Mostre que, para | x | ≤ 1,

 

6. Seja p um natural qualquer e 0 < x ≤ 1. Mostre que

7. −4 Avalie arc tg e arc tg com erro inferior, em módulo, a 10.

(Sugestão: Utilize o item b do Exercício 6.)

8. Utilizando a identidade

 

9. Utilizando os Exercícios 7 e 8, avalie . Estime o erro.

 

10. a) Prove que, para todo x > 0, arc tg x + arc

b) Descreva um processo para se avaliar arc tg 3 com erro inferior,

em módulo, a > 0.

c) Suponha x > 1. Descreva um processo para se avaliar arc tg x com

erro inferior, em módulo, a >0.

11. Determine uma solução da equação dada que satisfaz as condições

iniciais dadas. (Proceda como no Exemplo 3 da Seção 8.3.)

a) y″ + xy = 0, y(0) = 0 e y′ (0) = 1.

b) y″ – xy′ –y = 0, y(0) = 1 e y′ (0) = 0

c) 2 y″ + x y′ + xy = 0, y(0) = 0 e y′ (0) = 1

d) 2 y″ = x y, y(0) = 1 e y′ (0) = 0

e) 3 y″ = x y, y(0) = 0 e y′ (0) = 1

12. Sabe-se que a equação

y″ – y′ – xy = 0

admite uma solução y = y(x), x ∈ , satisfazendo as condições iniciais y(0) = 1 e y′(0) = 0. Sabe-se, ainda, que tal solução é desenvolvível em série de potências, em volta da origem, com raio de convergência +∞; isto é, para todo x,

 

Prove.

 

13. Seja y = y(x) a função do exercício anterior. Avalie y(1/2) com erro

inferior, em módulo, a 10−3.

14. (Série binomial ou de Newton.) Seja α um real dado, com α não

natural. Considere a equação diferencial linear de 1.ª ordem

 

a) α Verifique que y = (1 + x), x > 1, satisfaz .

b) Suponha que y = g(x), −1 < x < 1, seja solução de e que g(0) =

1. Prove que, para todo x ∈ ]−1, 1[,

g(x) = (1 + x)α.

(Sugestão: Verifique que

c) Verifique que a série

 

tem raio de convergência R = 1.

d) Mostre que a função

 

é solução da equação e que g(0) = 1.

(Sugestão: Mostre que (1 + x)g′ (x) = αg (x).)

e) Conclua que, para todo x ∈ ]−1, 1[,

 

15. a) Verifique que, para todo x ∈ ]−1, 1[,

 

b) Mostre que para x = 1 a série acima converge. (Sugestão: Veja

Exercícios 11, 3.2 e 9a da Seção 3.5.)

c) Seja f : [0, 1] → dada por

Conclua que, para todo x ∈[0, 1],

 

onde p ≥ 2 é um natural dado.

(Sugestão: Observe que, para 0 < x ≤ 1, a série é alternada.)

d) Prove que a série acima converge uniformemente a f em [0, 1].

e) Conclua que a igualdade do item a verifica-se para todo x ∈ ]−1,

1].

16. Mostre que, para todo x ∈ ]−1, 1[, tem-se

 

17. a) Utilizando o critério de Raabe, verifique a série

 

é convergente.

b) Utilizando o item a e o critério M de Weierstrass, prove que a

série

 

é uniformemente convergente em [−1, 1].

c) Conclua que, para todo x ∈[−1, 1],

 

(Sugestão: Veja Exercício 16.)

d) Verifique que

 

18. Suponha que a série de potências tem raio de convergência R,

com R > 0 e R real. Prove que se for absolutamente

convergente, então a série será uniformemente convergente

em [−R, R].

(Observação: Pode ser provado, também, que se for

condicionalmente convergente, então a série será

uniformente convergente em [0, R].)

19. Seja α > 0 um real dado, com não natural. Prove que, para todo x

∈[−1, 1],

 

(Sugestão : Utilize o exercício anterior e o Exercício 6 da Seção 3.5.

Utilize, também, o item e do Exercício 14 desta seção e lembre-se de que (1 + x)α é contínua em x = 1 e em x =−1.)

20. a) Seja um real dado, com −1 < α < 0. Prove que, para todo x ∈ ]−1,

1],

 

(Sugestão:

 

Proceda, então, como no Exercício 15.)

b) Seja α ≤ −1 um real dado. Prove que para | x | = 1 a série

 

é divergente.

21. Suponha | x | = 1. Calcule o valor da soma.

 

22. −3 Avalie com erro, em módulo, inferior a 10.

 

(Sugestão: Lembre-se da expansão do sen x em série de potências.)

23. Suponha que f(x) admita derivadas de todas as ordens no intervalo I e

que 0 ∈ I. Suponha, ainda, que existe M > 0 tal que, para todo x ∈ I e todo natural n ≥ 1, |f( ) (x)| ≤ M. Nestas condições, prove que, para n

todo x ∈ I,

 

(Sugestão: Utilize a fórmula Taylor com resto de Lagrange. Veja Vol. 1.)

24. Considere a função

 

a) ( ) Verifique que f (0) = 0 para todo natural n ≥ 1. n

b) Verifique que, para todo x ≠ 0,

 

c) Compare com o exercício anterior e discuta.