Um Curso de Cálculo, Volume 4
15.14 Redução de uma equação linear de 2.ª ordem do tipo ÿ = g (t) y a uma equação de Riccati.
Como y (0) = 2, resulta Portanto,
(Sugerimos ao leitor resolver o problema pelo método da Seção 15.10.)
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15.14. R a EDUÇÃO DE UMA E QUAÇÃO L INEAR DE 2.
ORDEM DO TIPO A UMA EQUAÇÃO
DE RICCATI
onde g (t) é suposta definida e contínua num intervalo I. Seja y = y (t), t ∈ I, uma solução de . Suponhamos que
y (t) ≠ 0 em J,
onde J é um intervalo contido em I. Vamos mostrar que
é uma solução da equação de Riccati
De fato,
daí
e, portanto,
Substituindo em e simplificando, obtemos .
Fica a seu cargo verificar que se
u = u(t), t ∈ I
for solução da equação de Riccati , então
será solução de .
EXEMPLO.
Solução
Consideremos a equação de Riccati
Verifica-se por inspeção que u = t é solução de . Tendo em vista ,
é uma solução da equação dada. Pela fórmula de Abel-Liouville (veja Seção 13.2)
daí
Fica a seu cargo concluir que
é outra solução da equação dada, linearmente independente com . A
solução geral da equação dada é
onde dt está indicando uma particular primitiva de Observação. Como