Um Curso de Cálculo, Volume 4
10.6 Equações do tipo y' = f (y/x)
Observação. Para mais aplicações práticas das equações diferenciais, veja na bibliografia o excelente livro de Bassanezi (1988).
10.6 EQUAÇÕES DO TIPO y′ = f(y/x)
Consideremos a equação
Veremos, a seguir, que, com a mudança de variável , u = u(x), a
equação se transformará em uma equação de variáveis separáveis. De fato, de segue y = xu. Derivando em relação a x obtemos
Substituindo na equação em resulta
que é uma equação de variáveis separáveis.
Reduzindo a equação y′ = f(y/x) a uma de variáveis separáveis
e, portanto, y = xu, u = u(x).
Derivando y = xu, em relação a x, vem Substituindo na
equação, resulta
que é uma equação de variáveis separáveis.
EXEMPLO. Resolva a equação
Solução
Dividindo o numerador e o denominador por x resulta
Fazendo a mudança de variável , ou deja, y = xu derivando em relação
a x resulta, como vimos anteriormente ; substituindo na
equação anterior, obtemos
Separando as variáveis, vem
Integrando,
Como para cada real k existe um único real k > 0, com k = 1 In k, e de 1 1
, a última equação pode ser colocada na forma
Ou seja, as soluções da equação proposta são dadas implicitamente pelas equações
Exercícios 10.6
1. Resolva as equações
2. Considere a equação . Verifique que a mudança de
variável , a transforma em e resolva. (Observe que a equação dada já é uma equação de Bernoulli, a mudança de variável apenas simplifica a resolução.)