10.11 Exercícios do capítulo

com ρ = 1 − cos θ, 0 < θ < π, é uma solução que passa pelo ponto (0, 1).

 

 

A equação ρ = 1 − cos θ é equivalente a ρ 2 = ρ − ρ cos θ, que em coordenadas cartesianas se escreve

 

Uma solução da forma y = y (x) é então dada implicitamente por esta equação.

Seja ρ = k(1 − cos θ), θ ∈ . Sugerimos ao leitor verificar que para toda constante k ≥ 0

 

é solução da equação dada. Desenhe as imagens de tais soluções.

■

 

10.11 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO

1. Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

 

(Sugestão: A mudança xy = u, ou seja, , com u = u (x),

transforma a equação em uma de variáveis separáveis.)

 

2. Determine uma função y = f (x) definida num intervalo I, cujo gráfico

passe pelo ponto e tal que, para todo t > 0, t ∈ I, o comprimento do gráfico de y = f (x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual à área do conjunto 0 ≤ y ≤ f (x), ≤ 0 x ≤ t.

3. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x, sendo o

movimento regido pela equação

 

Suponha que no instante t = 0, x (0) = 1 e (0) = 0. Calcule o tempo gasto pela partícula para se deslocar da posição x = 1 até a posição x = 2.

4. (Pêndulo simples.) A um fio muito leve de comprimento L está

pendurada uma partícula de massa m. Tal partícula é afastada da vertical e abandonada.

 

Desprezando-se a resistência do ar, mostra-se em física que o movimento da partícula é regido pela equação

 

onde g é a aceleração gravitacional suposta constante. Admita que no instante t = 0, θ (0) = α, , Mostre que o tempo

gasto pela partícula para sair da posição α e atingir a posição −α pela primeira vez é

 

5. Um objeto aquecido a 80ºC é colocado em um quarto a uma

temperatura ambiente de 10ºC; um minuto após a temperatura do objeto passa a 70ºC. Admitindo (lei de resfriamento de Newton) que a temperatura T = T (t) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é,

 

determine a temperatura do objeto no instante t. (Suponha t dado em minutos; é a constante de proporcionalidade.)

6. Suponha que x = φ (t), t ∈ I, seja solução da equação

= −4x3

 

e que satisfaça as condições iniciais φ (t ) = 1 e (t ) = 0 (t ∈ I). 0 0 0 Prove que, para todo t ∈ I, −1 ≤ φ (t) ≤ 1.

7. Determine uma função f cujo gráfico passe pelo ponto (1, 1) e tal que,

para todo p no seu domínio, a área do triângulo de vértices (p, 0), (p, f (p)) e M seja 1, onde M é a interseção da reta tangente em (p, f (p)) com o eixo x.

8. Determine uma função f cujo gráfico passe pelo ponto (1, 1) e tal que,

para todo p no seu domínio, a área do triângulo de vértices (p, 0), (p, f

(p)) e M seja igual a p, onde M é a interseção da reta tangente em (p, f (p)) com o eixo x.

9. Considere a equação de Clairaut

 

Prove que toda solução y = y (x) de que seja derivável até a 2.ª ordem é, também, solução de

(x + 2y') y″ = 0.

Determine, então, uma família de soluções de .

(Sugestão: Derive em relação a x os dois membros de .)

Observação. Seja ψ (u) uma função de uma variável definida num intervalo. Toda equação do tipo

y = xy' + ψ (y')

denomina-se equação de Clairaut.

10. a) Verifique que

 

é uma equação de Clairaut.

b) Determine uma família de soluções satisfazendo a condição y' <

0. (Restrinja-se a x > 0.)

11. Seja T uma reta tangente ao gráfico de y = f (x) e sejam A e B as

interseções de T com os eixos coordenados. Determine uma função f,

cujo gráfico não seja uma reta, tal que o segmento AB tenha comprimento 1, para toda reta tangente T. (Suponha que o gráfico de f esteja contido no 1.º quadrante e que f' (x) < 0.)

12. Determine uma função y = f (x) que tenha a seguinte propriedade: a

reta tangente no ponto P = (x, y) encontra o eixo y no ponto Q de modo que, qualquer que seja o ponto P, o segmento PQ tenha comprimento constante a, a > 0, e tal que f (a) = 0.

13. Determine uma função y = f (x) definida num intervalo I, cujo gráfico

passe pelo ponto , tal que, para todo t ∈ I, t > 0, a área da superfície obtida girando, em torno do eixo x, o gráfico da função y = f (x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2 π t.

14. Determine uma equação do tipo P dx + Q dy = 0 cujas soluções y = y

(x) sejam dadas implicitamente pelas equações x2 2 + 2xy − y = c.

15. Determine uma família de curvas que seja ortogonal à família dada.

a) 2 2 x + 2y = c

b) xy = c

c) 2 2 x y − x = c, x > 0

d) 2 2 x + 2xy − y = c

16. 2 Sejam P (x, y) e Q (x, y) duas funções definidas em e homogêneas

de mesmo grau λ, isto é, para todo t > 0 e para todo (x, y), P (tx, ty) = tλ λ P (x, y) e Q (tx, ty) = tQ (x, y). Seja

 

solução da equação

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Prove que, para todo τ > 0,

 

será, também, solução. Interprete geometricamente.

17. Considere a equação

(x − 2y) dx + (y + 2x)dy = 0.

a) Verifique que

 

é solução.

b) Determine uma solução que passa pelo ponto (2, 0).

(Sugestão: Observe que a solução do item a passa pelo ponto (1, 0) e utilize o exercício anterior.)

c) Utilizando o item a e o exercício anterior, conclua que as

equações

 

definem implicitamente uma família de soluções da equação dada.

18. Suponha que

seja solução da equação

 

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0

e f' (t) > 0 em I. Seja t = h (x), x ∈ J, a inversa de x = f (t), t ∈ I. Prove que

y = g (h (x)), x ∈ J,

é, também, solução da equação dada. Interprete.

19. Sejam m, n, p e q constantes dadas. Mostre que a mudança y = sx

transforma a equação

 

numa de variáveis separáveis.

20. Determine uma família de soluções da equação

 

21. O movimento de uma partícula no plano é descrito pelo sistema.

 

Desenhe a trajetória descrita pela partícula supondo que ela inicia o movimento na posição (0, 1).

22. a) Determine constantes a e b de modo que a mudança de variáveis

 

transforme a equação

(3x + 2y − 5) dx + (−2x + y + 1) dy = 0

em

(3u + 2v) du + (−2u + v) dv = 0.

b) Determine uma solução y = y (x) de

(3x + 2y − 5) dx + (−2x + y + 1) dy = 0

cujo gráfico passe pelo ponto (0, 0).

(Sugestão: Veja Exemplo 12 desta Seção.)

23. Considere a equação

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Mostre que a mudança de variáveis

 

transforma a equação acima em 1

onde

 

24. Considere a equação 2

(x2 2 − y) dx + xy dy = 0.

Passe para coordenadas polares e determine uma solução y = y (x) tal que y (1) = 1.

25. O movimento de uma partícula no plano é regido pela equação

 

Desenhe a trajetória descrita pela partícula, supondo que o movimento se inicia na posição (0, a), a > 0.

26. Suponha que

 

seja solução do sistema

 

e que x (0) = e y (0) = 0. Prove que, para todo t ∈ ,

[x (t)] 2 2 + 2 [y (t)] = 0

Conclua que, para todo t ∈ ,

x (t) = 0 e y (t) = 0.

27. Considere a equação

(mx + ny) dx + (px + qy) dy = 0, (x, y) ∈ Ω,

onde Ω é o semiplano y > 0; m, n, p e q são constantes dadas e n = − p. Suponha, ainda, m > 0 e q > 0. Prove que

 

é um fator integrante,

28. Utilizando o exercício anterior, resolva a equação

(x + y) dx + (−x + y) dy = 0, y > 0.

29. Considere a equação

(mx + ny) dx + (px + qy) dy = 0, (x, y) ∈ Ω,

onde Ω é o semiplano y > 0; m, n, p e q são constantes dadas tais que

(n + p)2 − 4mq < 0.

Prove que

é um fator integrante. Verifique, ainda, que tal resultado continua válido com

Ω = {x, y) 2 ∈ | (x, y) ∉ A}

onde A = {(x, 0) 2 ∈ | x > 0 }. (A é o semieixo positivo dos x.)

30. Vimos no Exemplo 12 desta seção que

 

definem implicitamente soluções y = y (x) da equação

 

Faça

 

Calcule . Determine, então, um fator integrante para .