Um Curso de Cálculo, Volume 4
8 Série de potências
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SÉRIE DE POTÊNCIAS
8.1. SÉRIE DE POTÊNCIAS
Seja a , n ≥ 0, uma sequência numérica dada e seja x um real dado. A n 0 série
denomina-se série de potências, com coeficientes a , em volta de x (ou n 0 centrada em x ). Se x = 0, temos a série de potências em volta de zero: 0 0
(Estamos convencionando aqui que 0 0 = 1.)
Por exemplo, é uma série de potências em volta de zero e com
coeficientes
O próximo teorema destaca uma propriedade bastante importante das séries de potências.
Teorema. Se for convergente para x = x , com x ≠ 0, 1 1
então a série convergirá absolutamente para todo x no intervalo aberto ] − | x |, | x | [. 1 1
Demonstração
Sendo, por hipótese, convergente, segue que
Tomando-se, então, = 1, existe um natural p tal que, para todo n ≥ p,
|a x n| ≤ 1. n 1
Como
resulta que, para todo x e todo natural n ≥ p,
Para | x | < | x |, a série geométrica é convergente. Segue do 1
critério de comparação que converge absolutamente para todo x,
com | x | < | x |. 1
■
EXEMPLO. A série converge para x = −1. (Observe que para x =
−1 temos a série alternada que já sabemos que converge.) Pelo
teorema anterior, a série converge absolutamente para todo x ∈ ] −1, 1[. Para x = −1 a série não é absolutamente convergente.
■
Exercícios 8.1
1. Verifique que a série converge para x = −1. Tal série converge
absolutamente para todo x ∈ ] −1, 1]? Explique.
2. Considere a série de potências, centrada em x , 0
Suponha que tal série convirja para x = x , x ≠ x . Mostre que a série 1 1 0 converge absolutamente para todo x ∈ ] x − r, x + r[, onde r = | x − 0 0 1 x |. 0