3.2 Critérios de comparação e do limite

6. a) Supondo α > 0, calcule a soma da série onde

 

b) Utilizando o critério de Cauchy-Fermat, conclua (resultado que

você já conhece) que a série harmônica de ordem α, , é

convergente para α > 1 e divergente para α ≤ 1.

7. Utilizando o critério de Cauchy-Fermat, com E = e, estude as séries a

seguir com relação a convergência e divergência, onde α > 0 é um real dado.

 

3.2. CRITÉRIOS DE COMPARAÇÃO E DO LIMITE

Critério de comparação. Sejam as séries

 

Suponhamos que exista um natural p tal que, para todo k ≥ p, 0 ≤ a k ≤ b . Nestas condições, tem-se: k

 

Demonstração

 

(i)

Como, para todo k ≥ p, b ≥ 0, a sequência k

 

é crescente. Daí e pelo fato da série ser convergente resulta, para

todo n ≥ p,

 

Como, para todo k ≥ p, 0 ≤ a ≤ b , resulta que a sequência k k

é crescente e, para todo n ≥ p.

 

 

Segue que a sequência é convergente, ou seja, a série é

convergente. Logo, é também convergente.

 

(ii) Fica a cargo do leitor.

■

 

EXEMPLO 1. A série é convergente ou divergente?

Justifique.

Solução

Para todo k ≥ 1,

 

(Lembrete: para todo

 

Como é convergente, pois trata-se de uma série harmônica de

ordem 2, segue do critério de comparação que é convergente. Isto significa que existe um número s tal que

 

Já vimos que

 

Como segue que s é um número

compreendido entre sen 1 e 2.

■

 

EXEMPLO 2. A série é convergente ou divergente?

Justifique.

Solução

Para todo k ≥ 1,

 

 

e, portanto, para todo k ≥ 1,

 

Segue que, para todo k ≥ 1,

 

Como (série harmônica de ordem 1) resulta

 

e, portanto, a série é divergente.

■

 

Observação. significa, como já sabemos, que

daí

ou seja,

 

Do mesmo modo, prova-se que se

 

então,

 

onde α é um real dado.

 

EXEMPLO 3. A série é convergente ou divergente? Justifique.

 

Solução

 

Sendo a série é divergente. Como para todo k ≥

1,

 

EXEMPLO 4. A série é convergente ou divergente? Justifique. Solução

 

Para todo n ≥ 1,

 

Pelo critério de comparação, é convergente. Observe que a soma

desta série é um número s compreendido entre

 

■

 

EXEMPLO 5. A série é convergente ou divergente?

Justifique.

Solução

 

Temos:

Tomando-se existe um natural p tal que

 

para todo k ≥ p. Segue que, para todo k ≥ p,

 

Ou seja, para todo k ≥ p,

 

Como a série é convergente (série harmônica de ordem 3) segue

que

 

é convergente.

■

 

EXEMPLO 6. Suponha que Suponha, ainda, que Prove

 

Solução

a) Por hipótese, Tomando-se então, existe um

natural p tal que, para todo k ≥ p,

 

Multiplicando por vem

 

ou

 

para todo k ≥ p. A convergência de segue por comparação com a

série harmônica b) Se α ≥ 1, a série será divergente, pois, para todo k ≥ p,

 

e é divergente.

 

■

 

Observação. Seja a série O exemplo anterior conta-nos que se

se , real, então a série tem o mesmo

comportamento que a série harmônica

 

EXEMPLO 7. A série é convergente ou divergente?

Justifique.

Solução

 

Temos

Como a série é divergente. (Veja exemplo anterior.)

 

■

 

O critério que vimos no Exemplo 6 é um caso particular do critério do limite, que veremos a seguir.

 

Critério do Limite. Sejam duas séries, com a > k

0 e c > 0, para todo k ≥ q, onde q é um natural fixo. Suponhamos k

que

 

Então

 

Demonstração a) De e real, segue que tomando-se existe um

natural p, que podemos supor maior que q, tal que

 

ou seja

 

Segue do critério de comparação que ambas são convergentes ou ambas divergentes.

 

b) De segue que tomando-se = 1, existe um natural p,

que podemos supor maior que q, tal que

 

e, portanto,

 

Segue do critério de comparação que se for divergente, então

também será.

c) De segue que tomando-se = 1, existe um natural p, que

podemos supor maior que q, tal que

ou seja

 

Portanto, se for convergente, então também será.

 

■

 

EXEMPLO 8. A série é convergente ou divergente? Justifique.

 

Solução

 

A série é convergente, pois trata-se de uma série geométrica

de razão

 

Façamos

 

Termos

 

Pelo critério do limite, a série dada é convergente. Poderíamos, também,

ter utilizado a série harmônica como série de comparação. Neste

caso, teríamos

Pelo critério do limite, conclui-se que a série dada é convergente.

 

■

 

Observação. O sucesso na utilização do critério do limite está

exatamente na escolha adequada da série de comparação. Em muitos

casos, as séries harmônicas ou as séries geométricas desempenham muito bem este papel.

 

EXEMPLO 9. A série é convergente ou divergente? Justifique.

 

Solução

Vamos tomar como série de comparação a série harmônica

Temos

 

Então,

 

Pelo critério do limite a série dada é divergente. (Observe que se

tomássemos como série de comparação a harmônica convergente

teríamos, também,

Entretanto, neste caso, o critério do limite não nos forneceria informação alguma sobre a convergência ou divergência da série dada. Confira.)

 

■

 

EXEMPLO 10. A série é convergente ou divergente?

Justifique.

Solução

Como a série tem chance de ser convergente.

Vamos tomar como série de comparação a harmônica convergente

Temos

 

Então,

 

Pelo critério do limite, conclui-se a convergência da série dada. (Sugerimos ao leitor concluir a convergência da série pelo critério estabelecido no Exemplo 6.)

■

Exercícios 3.2

 

1. É convergente ou divergente? Justifique.

 

2. Considere a série como a ≥ 0, para todo k. Suponha k

Prove que se então será

convergente. (Sugestão: Utilize o critério do limite.)

3. Seja λ > 0 um real dado. A série é convergente ou

divergente? Justifique.

 

4. Considere a série com a ≥ 0 para todo k. Suponha que k

Prove que se então a série

será divergente. (Sugestão: Utilize o critério do limite.)

 

5. Seja γ > 0 um real dado. Prove

 

6. É convergente ou divergente? Justifique.

 

7. Verifique que as séries abaixo são convergentes. Justifique.

 

8. Mostre que as séries dadas são convergentes.

(Sugestão: Para mostrar a convergência de b utilize a desigualdade ln x < x − 1.)

 

 

9. Verifique que

 

10. Seja −1 < α < 0 um real dado. Mostre que

 

(Sugestão: Utilize o critério do limite com

11. Seja −1 < α < 0 um real dado.

a) Utilizando o Exercício 10, conclua que

 

b) Mostre que

 

(Sugestão: Verifique que