Um Curso de Cálculo, Volume 4
4 Séries absolutamente convergentes. Critério da razão para séries de termos quaisquer
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SÉRIES ABSOLUTAMENTE
CONVERGENTES. CRITÉRIO DA
RAZÃO PARA SÉRIES DE TERMOS
QUAISQUER
4.1. SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE E
SÉRIE CONDICIONALMENTE CONVERGENTE
Dizemos que a série é absolutamente convergente se for
convergente.
EXEMPLO 1. Verifique que a série é absolutamente convergente.
Solução
Para todo k ≥ 1,
Como é convergente, resulta, pelo critério de comparação, que
é convergente. Deste modo, a série dada é absolutamente convergente.
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EXEMPLO 2. A série é absolutamente convergente?
Justifique.
Solução
Como é divergente, resulta que a série dada não é absolutamente
convergente.
■
Uma série que é convergente, mas não absolutamente convergente, denomina-se condicionalmente convergente.
EXEMPLO 3. A série é condicionalmente convergente.
■
Vamos provar a seguir que toda série absolutamente convergente é convergente.
Teorema. Se for convergente, então será, também,
convergente.
Demonstração
Para todo natural k,
Como é convergente, por hipótese, segue do critério de comparação
que
é também convergente. Como, para todo natural k,
resulta
Logo, é convergente.
(Observe que, para todo natural n,
e, portanto,
CUIDADO. Não vale a recíproca do teorema acima. A série é
convergente, mas não é absolutamente convergente.
EXEMPLO 4. A série é convergente ou divergente? Justifique.
Solução
Para todo natural k ≥ 1,
Como é convergente (série harmônica de ordem 2) resulta do critério
de comparação que
é convergente. Segue que é convergente, pois trata-se de uma série
que é absolutamente convergente.
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EXEMPLO 5. A série é convergente ou divergente? É
condicionalmente convergente?
Solução
é convergente, pois trata-se de uma série alternada em que a sequência
é decrescente e Já vimos que a série é
divergente; logo, é uma série condicionalmente convergente.
(Só para treinar, vamos mostrar que a série é divergente, utilizando
o critério de Raabe. Temos:
Como
resulta
pois, Segue do critério de
Raabe a divergência da série.)