11.2 Equações diferenciais lineares, homogêneas, de 2.ª ordem, com coeficientes constantes

4. Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é

 

onde L (Henry) é a indutância, R (Ohms) a resistência, i (Ampère) é a corrente e E (Volt) a força eletromotriz. Resolva a equação supondo

a) L e R constantes não nulas, E (t) E para todo t e i = 0 para t = 0. 0 b) L = 2, R = 10, E(t) = 110 sen 120πt e i = 0 para t = 0.

5. Esboce o gráfico da solução da equação

 

que satisfaz a condição inicial dada.

a) y (0) = 0

b) y (0) = 1

 

11.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES,

HOMOGÊNEAS, DE 2.ª ORDEM, COM

COEFICIENTES CONSTANTES

Os resultados que destacamos a seguir foram provados no Cap. 5 do Vol. 2. (Reveja tal capítulo!!!)

 

Seja a equação homogênea

+ b + cx = 0 (b e c reais dados)

 

e sejam λ , λ as raízes da equação característica 1 2

λ2 + bλ + c = 0.

(I) Se λ ≠ λ , λ e λ reais, a solução geral será 1 2 1 2

x = Aeλ [A + Bt]. (A, B ∈ ) 1t

(II) Se λ = λ , a solução geral será 1 2

x = eλ [A + Bt]. (A, B ∈ )

1 t

(III) Se as raízes forem complexas, λ = α ± βi, a solução geral será

x = e t [A cos βt + B sen βt] (A, B ∈ ) α

 

EXEMPLO 1. Considere a equação 2

 

a) Determine a solução geral.

b) Determine a solução que satisfaz as condições iniciais x (0) = 1 e (0) = 0.

Solução

a) A equação característica é

λ2 + 3λ + 2 = 0,

cujas raízes são − 1 e − 2. A solução geral é, então,

x = Ae−t −2 + Be . t

b) Para t = 0, x = 1; daí

 

Como (0) = 0 e = −Ae−t −2 − 2Be , resulta t

−A − 2B = 0

e, portanto, A = −2B. Substituindo em , obtemos B = 1;logo, A = 2. Assim,

x = 2e −t −2 − et

é a solução pedida.

■

 

EXEMPLO 2. Determine a solução geral da equação

 

Solução

λ = 2 é a única raiz da equação característica

λ2 − 4λ + 4 = 0.

A solução geral é

y = Ae 2 2 + Bxe , x x

ou seja,

y = e2 [A + Bx]. x

■

 

EXEMPLO 3. Considere a equação

 

Determine a solução geral.

Solução

As raízes da equação característica

λ2 + 5 = 0

são . Segue que a solução geral é EXEMPLO 4. Determine a solução geral da equação

 

Solução

A equação característica é

λ2 + 4λ + 5 = 0,

cujas raízes são

 

ou seja,

λ = − 2 ± i. (α = − 2 e β = 1).

A solução geral é, então,

x = e −2 [A cos t + B sen t]. t

■

 

EXEMPLO 5. O movimento de uma partícula sobre o eixo Ox é regido pela equação

m + kx = 0,

onde m > 0 e k > 0 são constantes reais dadas. Descreva o movimento.

Solução

A equação é equivalente a

+ w2x = 0,

onde . As raízes da equação característica

 

λ2 2 + w = 0

são λ = ±wi. (α = 0 e β = w). A solução geral é, então,

x = A cos wt + B sen wt.

Tomando-se φ tal que

 

resulta

 

ou seja,

Trata-se, então, de um movimento harmônico simples de amplitude

 

.

■

 

EXEMPLO 6. Considere uma mola com uma das extremidades fixa.

 

Suponha que a origem, x = 0, coincida com a extremidade livre da mola, quando esta se encontra em seu estado normal (não distendida). Se a mola for comprimida ou distendida até que a sua extremidade livre desloque à posição x, a mola exercerá sobre o agente que a deforme uma força cujo valor, em boa aproximação, será

 

onde k é a constante da mola. Suponha, agora, que a mola seja distendida e que uma partícula de massa m seja presa na sua extremidade livre e, em seguida, abandonada. Determine a posição x = x (t) da partícula no instante

t supondo x (0) = x e (0) = 0. (Despreze o atrito.) 0

Solução

Pela segunda Lei de Newton

m = −kx

que é equivalente a

m + kx = 0.

Segue do exemplo anterior que a solução geral é

x = A cos wt + B sen wt,

onde . Para que as condições iniciais sejam satisfeitas devemos ter

 

A = x e B = 0. (Verifique.) 0

Logo, a posição da partícula no instante t é dada por

x = x cos wt. 0

■

 

EXEMPLO 7. Uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação de uma força elástica (k > 0) e de uma força de amortecimento

proporcional à velocidade e dada por (c > 0). Prove que a energia

mecânica

 

é decrescente em [0, +∞[.

Solução

Pela segunda Lei de Newton,

 

que é equivalente a

 

Vamos, agora, calcular a derivada, em relação ao tempo t, da energia mecânica. Temos

 

Tendo em vista , resulta

 

Como, por hipótese, c > 0, temos

 

para todo t ≥ 0; logo, a energia mecânica é decrescente em [0, +∞[. Era razoável esperar tal resultado? Por quê?

■

 

EXEMPLO 8. Uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação de uma força elástica (k > 0) e de uma força de amortecimento

proporcional à velocidade e dada por (c > 0). Determine a equação

que rege o movimento e discuta as soluções.

Solução

Pela segunda Lei de Newton,

 

ou seja,

 

que é a equação que rege o movimento. Esta equação é equivalente a

 

onde . As raízes da equação característica são:

 

1.º Caso. Movimento oscilatório amortecido ou subcrítico (γ2 2 < w)

Sendo γ2 2 < w, as raízes da equação característica serão complexas:

λ = − γ ± w i, 1

onde A solução geral de será

x = e−γt [A cos w t + B sen w t]

1 1

e, portanto, onde é tal que A = K cos φ e B = K sen φ.

2.º Caso. Amortecimento crítico (γ2 2 = w)

Neste caso, a equação característica admitirá uma única raiz real λ = −γ. A solução geral será

x = Ae−γt −γt + Bte,

ou seja,

 

3.º Caso. Amortecimento forte ou supercrítico (γ2 2 > w)

Sendo γ2 2 > w, as raízes da equação característica serão reais e distintas:

λ = −γ ± Ω,

onde . A solução geral será

 

A figura abaixo mostra o gráfico da solução que satisfaz as condições

iniciais x (0) = x (x > 0) e (0) = 0. 0 0

Note que, nos casos 2 e 3, o amortecimento é suficientemente grande de modo a não permitir oscilação da partícula em torno da posição de equilíbrio (x = 0). Observe, ainda, que se k e m forem mantidos constantes, a partícula tende para a origem cada vez mais lentamente, à medida que o fator de amortecimento c cresce.

■

 

EXEMPLO 9. Uma partícula de massa m = 1 desloca sobre o eixo Ox sob a ação da força elástica e de uma força de amortecimento

proporcional à velocidade dada por . Sabe-se que x (0) = 0 e (0) = 1.

Determine a posição da partícula no instante t. Esboce o gráfico da solução encontrada.

Solução

A equação que rege o movimento é

= −5x − 4 ,

ou seja,

+ 4 + 5x = 0.

A solução geral é

x = e− [A cos t + B sen t]. (Verifique.) 2t

Segue que

x = e−2t sen t

é a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

 

■

 

Seja λ = α + iβ um número complexo dado, com α e β reais. No Apêndice 1 do Vol. 2 definimos e λt:

 

A relação acima é conhecida como relação de Euler. Fazendo t = 1 na relação acima, resulta:

Se α = 0

 

Consideremos novamente a equação

 

onde b e c são reais dados. Sejam λ ≠ λ as raízes, reais ou complexas, da 1 2 equação característica. No apêndice anteriormente mencionado, provamos que a solução geral da equação dada é

x = A λ t λ e + B e

1 1 2 1 t

com A e B complexos. É claro que, agora, estamos olhando as soluções 1 1

como funções de em ℂ, onde ℂ é o conjunto dos números complexos. (Veja Apêndice 1 do Vol. 2.)

EXEMPLO 10. Determine a solução geral da equação

 

Solução

As raízes da equação característica

λ2 + 2λ + 2 = 0

são λ = −1 ± i. A solução geral é, então,

x = A (−1+ ) (−1−1 ) , e + B e i t i t

1 1

ou seja,

x = e− −it [A e + B e]. t it

1 1

Pela relação de Euler

eit = cos t + i sen t

e

e−it = cos (−t) + i sen (−t) = cos t − i sen t.

Substituindo na solução geral, vem

 

e, portanto,

x = e− [A cos t + B sen t], t

onde A = A + B e B = i[A − B ]. 1 1 1 1

■

 

Exercícios 11.2

 

1. Resolva a equação

2. Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

 

 

3. Determine a solução do problema.

 

4. Resolva a equação

 

5. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação

da força elástica e de uma força de amortecimento proporcional

à velocidade dada por . Determine a posição x = x (t), t ≥ 0, da

partícula no instante t e discuta o movimento, supondo

a) x(0) = 1 e (0) = 0

b) x(0) = 1 e (0) = −2

6. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação

da força elástica e de uma força de amortecimento proporcional

à velocidade dada por . Suponha x (0) = 0 e (0) = 1. Determine

a posição x = x (t), t ≥ 0, e discuta o movimento.

7. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação

da força elástica . Supondo x (0) = 1 e (0) = −1, determine a

velocidade no instante t.

8. f é uma função definida em tal que sua derivada segunda é igual à

diferença entre sua derivada primeira e ela própria. Determine f sabendo, ainda, que f (0) = 0 e f′ (0) = 1.

9. Um móvel desloca-se sobre o eixo Ox com aceleração proporcional à

diferença entre a velocidade e a posição. Determine a posição x = x (t) do móvel, supondo (0) = 2, (0) = 1 e x (0) =0.

10. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação

de uma força elástica e de uma força de amortecimento

proporcional à velocidade dada por . Determine c para que

o movimento seja:

a) Fortemente amortecido

b) Criticamente amortecido c) Oscilatório amortecido 11.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES, COM