13.3 Funções linearmente independentes e funções linearmente dependentes

13.3. FUNÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES E

FUNÇÕES LINEARMENTE DEPENDENTES

Sejam f (x) e g (x), x ∈ I, duas funções e sejam α e β dois números reais quaisquer. Dizemos que f e g são linearmente independentes se, e somente se, a seguinte condição estiver verificada: se, para todo x ∈ I,

αf (x) + βg (x) = 0,

então α = β = 0.

Dizemos que f e g são linearmente dependentes se não forem linearmente independentes. Dizer, então, que f e g são linearmente dependentes significa que existem números reais α e β, com pelo menos um deles diferente de zero, tal que, para todo x ∈ I,

αf (x) + βg (x) = 0,

EXEMPLO 1. Verifique que as funções

são linearmente independentes.

Solução

Sejam α e β números reais quaisquer. Precisamos provar que se, para todo x > 0,

 

então α = 0 e β = 0. Se, para todo x > 0, se verifica, em particular, se verificará para x = 1 e x = 2. Assim,

Daí, α = 0 e β = 0. (Verifique.)

 

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EXEMPLO 2. Sejam f (x) e g (x) duas funções definidas no intervalo I, com g (x ) ≠ 0 para algum x ∈ I. Prove que f e g serão linearmente 0 0

dependentes se, e somente se, existir um número real k tal que, para todo x ∈ I,

f (x) = kg (x).

Solução

Suponhamos que f e g sejam linearmente dependentes. Segue que existem números reais α e β, com pelo menos um deles diferente de zero, tal que, para todo x ∈ I,

αf (x) + βg (x) = 0.

Em particular, αf (x ) + βg (x ) = 0. Como estamos supondo g (x ) ≠ 0, segue 0 0 0 que se α = 0, então β = 0. Mas, α e β foram escolhidos de modo que pelo menos um deles seja diferente de zero; logo, teremos que ter necessariamente α ≠ 0. Então, para todo x ∈ I,

 

Basta tomar Deixamos a seu cargo provar a recíproca.

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Sejam f (x) e g (x) definidas e deriváveis no intervalo I. O próximo exemplo nos diz que se f e g forem linearmente dependentes, então o wronskiano de f e g será identicamente nulo em I.

EXEMPLO 3. Sejam f, g: I → deriváveis no intervalo I. Prove que se f e g forem linearmente dependentes, então o wronskiano de f e g será identicamente nulo em I.

Solução

Seja

 

Se, para todo x ∈ I, g (x) = 0, então

 

para todo x ∈ I. Suponhamos, então, que exista x ∈ I, com g (x ) ≠ 0. Pelo 0 0 exemplo anterior, existe um número real k tal que, para todo x ∈ I,

f (x) = kg (x).

Daí, para todo x ∈ I, Logo, o wronskiano de f e g é identicamente nulo em I. (Tal condição não é suficiente para f e g serem linearmente dependentes, como mostra o Exercício 2 desta Seção.)

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Sejam f, g: I → . O próximo teorema nos diz que se f e g forem soluções da equação

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0,

com p e q contínuas em I, então f e g serão linearmente independentes se, e somente se, o wronskiano de f e g for diferente de zero em todo x ∈ I.

 

Teorema. Sejam f, g: I → duas soluções da equação

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0

com p e q contínuas em I. Nestas condições, f e g serão linearmente independentes se, e somente se, o wronskiano de f e g for diferente de zero para todo x ∈ I.

 

Demonstração

Seja Vamos provar em primeiro lugar que se W (x) ≠ 0, para todo x ∈ I, então f e g serão linearmente independentes. Ora, se W (x) ≠ 0 para todo x ∈ I, pelo Exemplo 3, as funções f e g não serão linearmente dependentes. Logo, f e g serão linearmente independentes. Suponhamos, agora, que f e g sejam linearmente independentes e que, para algum x ∈ I, W (x ) = 0. Existirão, 0 0 então, reais e , com pelo menos um deles diferente de zero, tal que

 

Segue que h (x) = αf (x) + βg (x), x ∈ I, será uma solução da equação satisfazendo as condições iniciais

 

h(x ) = 0 e h′ (x ) = 0. 0 0

Logo, h (x) = 0, para todo x ∈ I. Assim, para todo x ∈ I,

αf (x) + βg (x) = 0

com α e β não simultaneamente nulos, que está em contradição com o fato de f e g serem linearmente independentes.

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Exercícios 13.3

 

1. Sejam f e g duas funções definidas em e dadas por f (x) = sen x e g

(x) = 1.

a) Verifique que f e g são linearmente independentes.

b) Seja W = W (x), x ∈ , o wronskiano de f e g. Verifique que

existe x real tal que W (x ) = 0. Este resultado está em 0 0 contradição com o teorema desta seção? Explique.

2. 5 5 Sejam f (x) = x e g (x) = | x | duas funções definidas em .

a) Seja W o wronskiano de f e g. Verifique que W (x) = 0, para todo x

∈ .

b) Prove que f e g são linearmente independentes. c) Existe equação do tipo y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0, com p e q

contínuas em , que admita f e g como soluções? Explique.

(Sugestão: Veja teorema desta seção.)

3. Sejam f, g: I → duas funções, com f e g deriváveis no intervalo I.

Seja W = W (x), x ∈ I, o wronskiano de f e g. Prove que se W (x ) ≠ 0 0 para algum x ∈ I, então f e g serão linearmente independentes. 0

4. Sejam f, g: I → deriváveis no intervalo I. Provamos no Exemplo 2

que uma condição necessária para que f e g sejam linearmente dependentes é que o wronskiano de f e g seja identicamente nulo em I. Tal condição é suficiente? Explique.

(Sugestão: Veja Exercício 2.)

5. Seja f, g: I → deriváveis até a 2.ª ordem no intervalo I. Seja W = W

(x), x ∈ I, o wronskiano de f e g. Suponha que f e g sejam linearmente independentes e que existam x e x em I tais que W (x ) 0 1 0 = 0 e W (x ) ≠ 0. Existe equação y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0, com p e q 1

contínuas em I, que admita f e g como soluções? Explique.