5.3 Critério de Dirichlet

Critério de Cauchy (para série numérica). A série é

 

convergente se, e somente se, para todo > 0 dado, existir um

natural n tal que, quaisquer que sejam os naturais n e p, com p ≥ 1, 0

n ≥ n ⇒ |a + a + ... a | < . 0 n + 1 n + 2 n + p

 

O critério acima pode ser reescrito na seguinte forma: a série é

convergente se, e somente se, para todo > 0 dado, existir um natural n tal 0 que, quaisquer que sejam os naturais m e n,

 

Exercícios 5.2

 

1. Utilizando o critério de Cauchy, prove que se for convergente,

então a = 0. k

2. Utilizando o critério de Cauchy, prove que se for absolutamente

convergente, então será convergente.

 

5.3. CRITÉRIO DE DIRICHLET

Enunciamos a seguir o critério de Dirichlet e a demonstração é deixada para o final da seção.

 

Critério de Dirichlet. Seja a série

 

Suponhamos que a sequência a seja decrescente e tal que a kk = 0. Suponhamos, ainda, que exista B > 0 tal que, para todo natural n,

 

Nestas condições, a série é convergente.

 

O próximo exemplo mostra que o critério de convergência para série alternada, visto anteriormente, é um caso particular do critério de Dirichlet.

EXEMPLO 1. Considere a série alternada e suponha

que a sequência a é decrescente, com a = 0. Utilizando o critério de k k Dirichlet, prove que a série é convergente.

Solução

Seja b k = (− 1). Para todo natural n,

k

Como, por hipótese, a é decrescente e a = 0, segue do critério de k k Dirichlet a convergência da série dada.

 

■

 

EXEMPLO 2. Prove que a série é convergente.

 

Solução

 

(Veja Exemplo 3.) Em particular,

 

As sequências a = e b = sen k satisfazem, então, as condições do critério k k

de Dirichlet. Logo, a série é convergente.

 

■

 

EXEMPLO 3. Suponha x ≠ 2kπ, k inteiro. Seja i o número complexo tal que i 2 = −1.

a) Verifique que

 

b) Conclua que

 

e

 

Solução

a) ix 2ix 3ix nix e + e + e + ... + e é a soma dos n primeiros termos de uma

progressão geométrica de 1.º termo eix ix e razão e. Assim

 

b) Pela relação de Euler (veja Apêndice 1 do Vol. 2),

enix = cos nx + i sen nx

e

e−ix = cos x − i sen x.

Segue que

Multiplicando o numerador e o denominador da última fração pelo conjugado do denominador e fazendo algumas simplificações, obtemos

 

 

Para completar a demonstração, basta observar que

 

EXEMPLO 4. (Lema de Abel.) Seja a uma sequência decrescente, com a kk ≥ 0 para todo k. Suponha que exista B > 0 tal que, para todo natural

Nestas condições, prove que, para todo natural n,

 

Solução

Seja Temos

 

B = b e b = B − B . 0 0 n n n−1

Então,

Temos, então, a identidade de Abel

 

 

Como, por hipótese, , resulta

 

Portanto, para todo natural n,

 

Demonstração do Critério de Dirichlet

Quaisquer que sejam os naturais n e p, com n > p,

 

e daí

 

e, portanto,

Pelo lema de Abel (exemplo anterior)

 

 

Como a = 0, dado > 0 existe n tal que p 0

 

Portanto, dado > 0 existe um natural n tal que, quaisquer que sejam os 0 naturais n e p,

 

Pelo critério de Cauchy, a série é convergente.

 

■

 

Exercícios 5.3

 

1. Prove que as séries abaixo são convergentes para todo x, com sen

2. Prove que é divergente.

 

(Sugestão: Verifique que | sen k | ≥ sen2 2 k e observe que sen

 

3. É convergente ou divergente? Justifique.

 

4. Considerando as hipóteses do critério de Dirichlet e olhando para a

identidade de Abel, prove

5. Olhando para a identidade de Abel, prove o seguinte critério devido a

Abel.

Critério de Abel. Suponha que a sequência a , k ≥ 0, seja crescente k (ou decrescente) e limitada e que a série seja convergente.

Nestas condições, a série é convergente.