Um Curso de Cálculo, Volume 4
7.4 Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como soma de uma série de funções
b) Prove que a série
é uniformemente convergente em .
7.4. CONTINUIDADE, INTEGRABILIDADE E
DERIVABILIDADE DE FUNÇÃO DADA COMO
SOMA DE UMA SÉRIE DE FUNÇÕES
Nesta seção, vamos reescrever, em linguagem de série, os teoremas da Seção 6.3.
Teorema 1. Seja s: B → dada por
Se a série de funções convergir uniformemente a s, em B, e
se cada f for contínua em x ∈ B, então s será contínua em x . k 0 0
Demonstração
onde
Como a convergência é uniforme em B e como cada s é contínua em x , n 0 segue do teorema 1 da Seção 6.3, que s = s (x) é contínua em x . 0
■
Teorema 2. (Integração termo a termo.) Seja s = s (x), x ∈ [a,
b], dada por
Se cada f for contínua em [a, b] e se a série convergir k
uniformemente a s em [a, b], então
ou seja,
Demonstração
Como a convergência é uniforme em [a, b] e cada é
contínua em [a, b] segue do Teorema 2 da Seção 6.3 que
ou seja,
O Teorema 2 conta-nos que se cada f for contínua em [a, b] e se a série k
convergir uniformemente em [a, b], então os símbolos
poderão ser permutados:
Teorema 3. (Derivação termo a termo.) Seja s: I → , I
intervalo, dada por
Se cada f 1 for de classe C em I e se a série convergir
k
uniformemente em I, então, para todo x ∈ I,
ou seja,
Demonstração
Fica a cargo do leitor.
■
EXEMPLO. Seja s = s (x) a função dada por
a) Qual o domínio de s?
b) Justifique: para todo x real,
Solução
a) Para todo x e todo k ≥ 1, Segue que a série converge absolutamente para todo x; logo, a série converge para todo x. O domínio de s = s (x) é .
Para todo x real e para todo k ≥ 1,
Segue do critério M de Weierstrass que a série cos converge
uniformemente em . Pelo teorema sobre derivação termo a termo,
ou seja,
Exercícios 7.4
1. Prove que a função dada é contínua no conjunto B dado.
2. Seja Justifique a igualdade
3. Seja Verifique que
4. Seja Justifique a igualdade
5. Seja Mostre que a série numérica
é convergente e tem por soma
6. Considere a função f dada por
a) Qual o domínio de f ?
b) Mostre que f é contínua.
c) Justifique a igualdade: