Um Curso de Cálculo, Volume 4
4.2 Critério da razão para séries de termos quaisquer
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4.2. CRITÉRIO DA RAZÃO PARA SÉRIES DE
TERMOS QUAISQUER
Critério da razão. Seja a série para todo natural k.
Suponhamos que exista, finito ou infinito. Seja
Nestas condições, tem-se:
a) se L < 1, a série será convergente.
b) se L > 1 ou será divergente.
c) se L = 1, o critério nada revela.
Demonstração
a) Se L > 1, a série será convergente; logo será, também,
convergente. (Observe que é uma série de termos positivos; logo o
critério da razão visto no capítulo anterior se aplica.) b) Se L > 1 ou L = +∞, existirá um natural p tal que
Daí, para todo natural k > p,
|a | > |a | k p
Como não poderá ser zero e o mesmo acontecerá, então,
com
Pelo critério do termo geral, a série será divergente.
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EXEMPLO 1. Determine x para que a série seja convergente.
Solução
Para x = 0 a soma da série é zero; logo, convergente. Suponhamos então x ≠ 0 e apliquemos o critério da razão:
Segue, do critério da razão, que a série é convergente para | x | < 1 e divergente para | x | > 1.
Para | x | = 1, a série é divergente. De fato, se x = 1 a série será divergente, pois se x = − 1, a série será, também, divergente, pois,
não existe.
Conclusão. A série é convergente para | x | < 1.
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EXEMPLO 2. Determine x para que a série seja convergente.
Solução
Para x = 0 a série é convergente. Para x ≠ 0, vamos aplicar o critério da razão:
Segue, do critério da razão, que a série é convergente para | x | < 1 e divergente para | x | > 1.
Para x = 1, temos a série harmônica que já sabemos ser
divergente. Para x = −1, temos a série alternada convergente
Conclusão. A série é convergente para −1 ≤ x < 1.
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Observação. Para cada é um número. Podemos, então,
considerar a função dada por
Veremos mais adiante que f(x)= –ln (1 − x), −1 ≤ x < 1. Tente chegar a este resultado, procedendo como no Exemplo 7 da Seção 2.1.
Exercícios 4.2
1. Determine x para que a série seja convergente. (Convencionaremos
aqui que 0 = 1.)
2. Determine o domínio da função f dada por
3. Determine o domínio e esboce o gráfico.
4. Mostre que as séries abaixo são convergentes para todo x.
5. Utilizando a fórmula de Taylor com resto de Lagrange (veja Vol. 1),
mostre que, para todo x, tem-se
6. (Critério da raiz para série de termos quaisquer.) Considere a série
. Suponha que