Apêndice 2 Sobre séries de Fourier

Apêndice

2

 

SOBRE SÉRIES DE FOURIER

 

A2.1. DEMONSTRAÇÃO DO LEMA DA SEÇÃO 9.3

Inicialmente, vamos destacar alguns resultados que nos serão úteis na demonstração do lema.

Por um polinômio trigonométrico entendemos uma expressão do tipo

 

P(x) = α + α cos x + β sen x + ... + α cos kx + β sen kx, 0 1 1 k k

onde k é um natural dado, α , α , ..., α e β , β , ..., β reais dados. 0 1 k 1 2 k

Observamos que, quaisquer que sejam os naturais n e m,

senn n x, cos x, sen nx cos mx,

sen nx sen mx e cos nx cos mx

são polinômios trigonométricos. De fato,

sen nx cos mx = [sen (n + m) x + sen (n − m) x];

 

logo, sen nx cos mx é um polinômio trigonométrico. Da mesma forma, conclui-se que

sen nx sen mx e cos nx cos mx

são polinômios trigonométricos. Temos, agora,

sen2 x = − cos2x;

 

sen3 x = sen x − sen x cos 2x.

 

Como sen x cos 2x é um polinômio trigonométrico, conclui-se que sen 3 x é, também, um polinômio trigonométrico. Fica a seu cargo concluir que senn x e cosn x são polinômios trigonométricos.

Seja f : → contínua e periódica de período 2π. Vamos mostrar, a seguir, que para todo t real,

 

Para isto é suficiente provar que, sendo

 

então

G' (t) 0 em .

Pelo teorema fundamental do cálculo,

G' (t) = f (π + t) − f (−π + t)

para todo t. Como

f (−π + t) = f (−π + t + 2π) = f (π + t),

resulta

G' (t) = 0 em .

Logo, a função

 

é constante. Como resulta que, para todo t,

 

(Fica a cargo do leitor interpretar geometricamente este resultado.)

Seja δ um real dado, com Observamos que

cos x − cos δ > 0 em ] − δ, δ[

e

| 1 + cos x − cos δ | ≤ 1 em [ −π, −δ] ⋃ [δ, π].

Seja, agora, x ∈ [ −π, π ] um real dado. Temos, então, 0

 

cos (x − x ) − cos δ > 0 para −δ < x − x < δ 0 0

e

 

Observe que

−δ < x − x < δ ⇔ x − δ < x < x + δ 0 0 0

e

−π ≤ x − x ≤ −δ ou δ ≤ x − x ≤ π 0 0

são equivalentes a

 

x ∈ [ −π + x , x − δ] ⋃ [ x + δ, π + x ]. 0 0 0 0 Para todo natural n ≥ 1, seja P o polinômio trigonométrico n

P n (x) = [1 + cos (x − x ) − cos δ].

n 0

(Os resultados destacados anteriormente garantem-nos que P é realmente n um polinômio trigonométrico. Confira.) Para x − δ < x < x + δ, 0 0

cos (x − x ) − cos δ > 0. 0

Segue, então, da desigualdade de Bernoulli que

 

para x − δ ≤ x ≤ x + δ. 0 0

Por outro lado, para todo n ≥ 1,

 

para −π + x ≤ x ≤ x − δ ou x + δ ≤ x ≤ π + x . 0 0 0 0

 

Lema. Sejam f e g definidas e contínuas em [−π, π], tais que

f (−π) = f (π) e g (−π) = g (π).

Se, para todo natural n,

 

e

então

 

f (x) = g (x) em [−π, π].

 

Demonstração

Seja

h (x) = f (x) − g (x) em [−π, π].

Segue da hipótese que h é contínua em [−π, π] e h (−π) = h (π). Seja H: →

periódica de período 2π dada por

H (x) = h (x) em [− π, π].

Precisamos provar que h (x) = 0 em [−π, π]. Suponhamos que exista x ∈ [− 0 π, π] tal que

h (x ) ≠ 0. 0

Para fixar o raciocínio suporemos h (x ) > 0. Como H (x ) = h (x ) > 0 e H é 0 0 0 contínua, pela conservação do sinal existe δ > 0, com 0 < δ < , tal que

 

H (x) > 0 em ]x − δ, x + δ[. 0 0

Segue da hipótese que, para todo natural n,

 

e

 

Então, para todo natural n,

 

onde P é o polinômio trigonométrico mencionado anteriormente. Segue n

que

 

para todo n ≥ 1. (Veja .)

Como H é contínua e periódica, existe M > 0 tal que

| H (x) | ≤ M em .

Segue que

 

para − π + x ≤ x ≤ x − δ ou x + δ ≤ x ≤ π + x . (Veja .) Por outro lado, 0 0 0 0

H (x) P (x) ≥ H (x) + nH (x) [cos (x − x ) − cos δ] n 0 em [x − δ, x + δ]. (Veja .) Daí 0 0

 

Como

H (x) [cos (x − x ) − cos δ] > 0 0

em ]x − δ, x + δ[, segue que 0 0

 

logo,

 

Tendo em vista , para todo n ≥ 1,

 

e

 

Segue que existe um natural n, tal que que contradiz . Logo, h (x) = 0 em [−π, π].