13.8 Exercícios do capítulo

A solução geral da equação dada é

 

 

Exercício 13.7

 

Determine a solução geral. Verifique sua resposta por derivação.

1. xy″ + y′ = 2x, x > 0

2. x 2 2 y″ + xy′ − y = x, x > 0.

 

13.8. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO

(Verifique a resposta encontrada por substituição direta na equação dada.)

1. Resolva a equação dada.

a) 2 xy″ − 2y = 0, x > 0

b) 2 xy″ + 3xy′ + 2y = 0, x > 0 c)

2. Considere a equação xy″ + xy′ + y = 0, x > 0.

a) Tente uma solução da forma

b) Olhando para as soluções encontradas em a), conclua que φ (x) = 1

x e−x

c) Mostre que é razoável tentar-se outra solução da forma

d) Determine a solução geral da equação dada.

3. Considere a equação xy″ + xy′ − y = 0, x > 0.

 

a) Verifique que φ (x) = x, x > 0, é solução. 1

b) Tente outra solução da forma . Por que é

razoável tentar-se outra solução desta forma? Explique.

c) Determine a solução geral da equação dada.

4. (Equação de Bessel de ordem zero.) Por uma equação de Bessel de

ordem α, com real dado α, entendemos uma equação do tipo x2y″ + xy′ (x2 2 − α) y = 0. Considere a equação de Bessel de ordem zero xy″ + y′ + xy = 0 e suponha x > 0.

a) Mostre que a equação de Bessel de ordem zero admite uma

solução da forma

 

(Tal J (x) denomina-se função de Bessel de ordem zero e 1.ª 0

espécie.)

b) Mostre que é razoável tentar-se outra solução da forma

e conclua que

(Tal K (x) denomina-se função de Bessel de ordem zero e segunda 0

espécie.)

5. (Equação de Bessel de ordem p > 0, com p inteiro.) Considere a

equação de Bessel de ordem p, x2 2 2 y″ + xy′ + (x − p) y = 0, com p > 0 e inteiro.

a) Tente uma solução da forma e conclua que

 

(Observação. Escolhendo-se , tem-se a solução

 

Tal solução J (x) denomina-se função de Bessel de ordem p e de p

1.ª espécie.)

b) Mostre que é razoável tentar-se outra solução da forma

 

(Se tiver paciência e tempo, você chegará à seguinte solução:

Tal solução K (x) denomina-se função de Bessel de ordem p e de p

2.ª espécie.)

6. (Equação de Bessel de ordem α, com α não inteiro.) Considere a

equação de Bessel de ordem α, x2 2 2 y″ + xy′ (x − α) y = 0, com α não inteiro. Mostre que esta equação admite duas soluções linearmente independentes, com as seguintes formas

 

7. 2 Considere a equação y″ + xy = 0. Mostre que a solução geral é y = k

1

φ (x) + k φ (x) onde φ (x) e φ (x) são dadas por séries de potências: 1 2 2 1 2

 

8. 4 Considere a equação xy″ + y′ = 0, x ≠0. Tente soluções da forma

conclua que a solução geral é

 

9. 4 Considere a equação xy″ − y = 0. Tente soluções da forma

e conclua que a solução geral é

 

10. 4 2 Mostre que a solução geral de x y″ + ky = 0, onde k > 0 é uma

constante real, é

 

11. 4 2 Mostre que a solução geral de x y″ − ky = 0, onde k > 0 é uma

constante real, é

12. 2 Seja h: I → uma função dada e de classe C no intervalo aberto I,

com h(x) ≠ 0 para todo x ∈ I. Considere a equação

a) Verifique que φ (x) = h (x) é uma solução. 1

b) Determine a solução geral.

13. Olhando para o exercício anterior, resolva a equação.

 

14. 2 Seja h: I → de classe C, com h (x) ≠ 0 em I, uma função dada.

Considere a equação y = g (x) y, com e sendo k

> 0 uma constante. Verifique que a solução geral da equação é

y = h (x) [k sen p (x) + k cos p (x)], 1 2

onde p (x) é tal que , x ∈ I.

 

15. Resolva o Exercício 10 com auxílio do Exercício 14.

16. Olhando para o Exercício 14, resolva a equação dada.

17. Sejam h: I → e p: I → como no Exercício 14. Seja

, x ∈ I, onde k > 0 é uma constante real dada.

Verifique que a solução geral da equação y″ = g (x) y é y h (x) [k ( ) e

p x

1

+ k − ( ) e ].

p x

2

18. Resolva o Exercício 11 com auxílio do Exercício 17.

19. Com auxílio do Exercício 17, resolva a equação dada.

 

20. Considere a equação y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0, onde p (x) e q (x) são

definidas e contínuas no mesmo intervalo I. Determine h(x) e g(x), definidas em I, de modo que a mudança de variável y = h (x) u transforme a equação dada em u″ + g (x) u = 0.

21. Mostre que a mudança de variável , x > 0 transforma a

equação de Bessel

.

22. Mostre que se y = α(x), com φ(x) ≠ 0 no intervalo aberto I, for uma

solução de y″ = g (x) y, então , x ∈ I, será solução da equação

de Riccati u′ = g (x) − u2

23. −2 a) Verifique que u = x, x > 0, é solução da equação de Riccati u′ =

x−4 −3 2 − 2x − u.

b) 4 Resolva a equação xy″ = (1 − 2x) y. (Sugestão: Veja exercício

anterior.)

Considere a equação x4y″ = (1 − 2x) y. Olhando para o exercício

24. anterior, conclua que é razoável tentar-se soluções da forma

y = αx + β + a −1 −2 −3 x + a x + a x + …

1 2 3

ou seja, . Resolva então a equação dada.