13.2 Wronskiano. Fórmula de Abel-Liouville

13.2. WRONSKIANO. FÓRMULA DE ABEL-

 

LIOUVILLE

Sejam f e g duas funções quaisquer, a valores reais, definidas e deriváveis no intervalo I. A função W: I → dada por

 

denomina-se wronskiano de f e g.

Consideremos a equação linear de 2.ª ordem, homogênea e de coeficientes variáveis

 

onde p e q são supostas definidas e contínuas no intervalo I. O próximo teorema nos diz que se f (x) e g (x), x ∈ I forem soluções de , então o wronskiano de f e g será solução da equação linear de 1.ª ordem

W′ + p(x) W = 0.

Como consequência, existirá uma constante c tal que o wronskiano de f e g será dado por

 

onde ∫ p (x) dx está indicando uma particular primitiva de p. A fórmula acima é conhecida como fórmula de Abel-Liouville.

Teorema. Sejam f (x) e g (x), x ∈ I, duas soluções de . Então o wronskiano de f e g é solução da equação

 

W′ + p (x) W = 0.

 

Demonstração

Precisamos provar que, para todo x ∈ I,

W′ (x) + p (x) W (x) = 0.

Temos:

W′ (x) = [f (x) g′ (x) − f′ (x) g (x)]′,

ou seja,

 

Como f e g são soluções de , para todo x ∈ I,

f″ (x) = −p(x) f′ (x) − q (x) f (x)

e

g″ (x) = − p (x) g′ (x) − q (x) g (x).

Substituindo em e simplificando, resulta

W′ (x) = − p (x) [f (x) g′ (x) − f′ (x) g (x)],

ou seja,

W′ (x) + p (x) W (x) = 0.

■

 

Como consequência deste teorema temos o seguinte importante

 

Corolário. Sejam f e g como no teorema anterior e seja W o

wronskiano de f e g. Nestas condições, se W (x ) ≠ 0 para algum x 00 ∈ I, então, para todo x ∈ I, W (x) ≠ 0.

 

Demonstração

 

Seja a primitiva de p que se anula em x = x . 0

Pela fórmula de Abel-Liouville, existe c tal que, para todo x ∈ I,

W (x) = ce −φ( ). x

Como φ(x ) = 0, segue c = W (x ). Logo, 0 0

W (x) = W (x − φ( ) ) e x

0

para todo x ∈ I. Como, por hipótese, W (x ) ≠ 0, resulta, para todo x ∈ I, W 0 (x) ≠ 0.

■

O corolário acima nos diz que se o wronskiano de duas soluções de 1

for diferente de zero para algum x ∈ I, então será diferente de zero para 0 todo x ∈ I.

Exercícios 13.2

 

1. Calcule o wronskiano das funções dadas.

 

2. Sejam f (x) = sen x e g (x) = 1.

a) Calcule o wronskiano de f e g b) Seja W = W (x) o wronskiano de f e g. Para todo x ∈ , W (x) ≠

0?

c) Existe equação do tipo y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0, com p e q

contínuas em , que admita f e g como soluções? Explique.

3. Sejam Determine

uma equação do tipo

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0

com p e q contínuas em que admita f e g como soluções.

 

4. Suponha que y = f (x) e y g (x), x ∈ I, sejam soluções da equação

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0,

onde p e q são supostas contínuas em I. Suponha que o wronskiano de f e g não se anule em I. Sejam a b, com a e b no intervalo I, dois zeros consecutivos de g (x), isto é, g (a) = 0, g (b) = 0 e, para todo x em ]a, b[, g (x) ≠ 0. Prove que existe c em ]a, b[ tal que f (c) = 0. Interprete.

(Sugestão: W (x) = f (x) g′ (x) − f (x) g (x); segue W (a) = f (a) g′ (a) e W (b) = f (b) g′ (b). Verifique que g′ (a). g′ (b) < 0 e conclua que f (a) e f (b) têm sinais contrários.)

5. Sejam f e g duas funções definidas em e deriváveis até a 2.ª ordem,

cujos gráficos têm os seguintes aspectos.

 

Existe equação do tipo

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0,

com p e q contínuas em , que admita ambas as funções f e g como soluções? Explique. (Sugestão: Veja Exercício 4.)