9 Introdução às séries de Fourier

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INTRODUÇÃO ÀS SÉRIES DE

FOURIER

 

9.1. SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO

Vamos iniciar a seção com o seguinte exemplo.

EXEMPLO 1. Sejam a , n ≥ 0, e b , n ≥ 1, números reais dados. Suponha n n que a série trigonométrica

 

convirja uniformemente, em [−π, π], a uma função f. Prove que

Solução

Para todo x ∈[−π, π],

 

Como a convergência é uniforme neste intervalo, e as funções a cos nx + b nn sen nx contínuas, segue que é válida a integração termo a termo. Então

 

e, portanto,

 

pois

 

Segue que

 

Seja, agora, k ≥ 1 um natural fixo. Multiplicando os dois membros de por cos kx, a convergência, ainda, é uniforme. (Veja Exercício 4 da Seção 7.3.) Integrando termo a termo obtemos

Temos

 

 

(A segunda integral é zero pelo fato de sen nx cos kx ser uma função ímpar.)

Vamos mostrar, a seguir, que

 

Portanto,

Conclusão

 

De modo análogo, conclui-se que

 

A seguir, vamos definir coeficientes de Fourier e série de Fourier de uma função. Seja f : [−π, π] → uma função integrável. Os números

 

denominam-se coeficientes de Fourier de f. A série

 

onde os a e b são os coeficientes de Fourier de f, denomina-se série de n n

Fourier de f.

Uma pergunta que se coloca de modo natural é a seguinte: a série de Fourier de f converge a f ? Na Seção 9.3 estabeleceremos uma condição suficiente para que a série de Fourier de f convirja uniformemente a f em [−π, π].

EXEMPLO 2. Determine a série de Fourier de f(x) = x, −π ≤ x ≤ π.

Solução

 

pois x cos nx é uma função ímpar;

 

pois x sen nx é uma função par. Integrando por partes, vem

 

e, portanto,

 

(Observe que cos nπ = (−1)n, para todo natural n.) Logo,

 

Portanto,

 

é a série de Fourier de f(x) = x, −π ≤ x ≤ π.

■

EXEMPLO 3. Determine a série de Fourier de

f(x) = x2, −π≤ x ≤ π.

Mostre que a série encontrada converge uniformemente em .

Solução

 

e, portanto,

 

Como x2 sen nx é uma função ímpar,

 

A série de Fourier da função dada é

 

Como

para todo x e todo natural n ≥ 1, segue do critério M de Weierstrass que a

série converge uniformemente em . (Lembre-se de que é a série

harmônica de ordem 2 e, portanto, convergente.)

■

A série de Fourier que vamos construir no próximo exemplo será utilizada mais adiante.

EXEMPLO 4. Determine a série de Fourier da função

 

Solução

Como h é uma função ímpar, a função

h(x) cos nx

será, também, ímpar. Logo, Por outro lado, h(x) sen nx é uma função par; daí

 

ou seja,

 

Portanto, a série de Fourier da função dada é

 

Provaremos na Seção A2.2, do Apêndice 2, que esta série converge uniformemente nos intervalos [−π, −a] e [a, π], para todo a, com 0 < a < π. Provaremos, ainda, que, para todo x ≠ 0, com x ∈ [−π, π],

 

Evidentemente que, para x = 0, a série converge para zero.

■

 

EXEMPLO 5. Seja f: [−π, π] → uma função de classe C 2 e tal que f(−π) = f(π). Prove que a sua série de Fourier converge uniformemente, em , para a função F: → dada por

 

onde os a e b são os coeficientes de Fourier de f. n n

Solução

 

Integrando duas vezes por partes, obtemos

 

Temos

 

onde

 

Portanto,

 

Da mesma forma, existe M > 0 tal que 2

 

(É aqui que você vai usar a hipótese f(−π) = f(π). Verifique.) Segue que, para todo x real e para todo natural n ≥ 1,

 

onde . Pelo critério M de Weierstrass, a série de Fourier de f

converge uniformemente, em , para a função F: → dada por

 

 

Exercícios 9.1

 

1. Determine a série de Fourier da função dada.

 

2. Suponha que, para todo x ∈ ,

 

Prove que F é periódica de período 2π.

3. − 2 Seja f(x) = e, −π ≤ x ≤ π. Prove que a série de Fourier de f converge x

uniformemente em . (Sugestão: Utilize o Exemplo 5.)

4. Seja f: → dada por

 

a) Prove que f é contínua.