Um Curso de Cálculo, Volume 4
A2.2 Estudo da série
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Como vimos no Exemplo 4 da Seção 9.1,
é a série de Fourier da função
Nosso objetivo, a seguir, é provar que esta série converge uniformemente em [a, π] para todo a, com 0 < a < π. Vamos utilizar o critério de Cauchy para convergência uniforme de uma série de funções. Ou seja, para concluir a convergência uniforme da série em [a, π], basta provar que, para todo > 0 dado, existe um natural n (que só dependa de ) tal que, quaisquer que 0
sejam os naturais n e p, com p > 0, e para todo x em [a, π],
Conforme aprendemos no Exemplo 3 da Seção 5.3,
para todo x ∈ [−π, π], com x ≠ 0. Para todo x ∈ [a,π], com 0 a π,
e, portanto,
Segue que, para todo x ∈ [a, π],
e, portanto,
Tomando-se vem
para todo x ∈ [a, π] e todo natural n ≥ 1. Como
resulta de que
para todo x ∈ [a, π] e quaisquer que sejam os naturais n e p, com n ≥ 2 e p > 0.
Vamos, agora, fazer
e utilizar o Lema de Abel (Exemplo 4 da Seção 5.3). Tendo em vista , segue do Lema de Abel que
quaisquer que sejam os naturais n e p, com n ≥ 2 e p > 0, e para todo x ∈ [a, π].
Como
segue que, para todo > 0 dado, existe um natural n , tal que 0
Tendo em vista e , resulta que, para todo > 0 dado, existe um
natural n tal que, para todo x ∈ [a, π] e quaisquer que sejam os naturais n e 0
p,
Logo, a série
converge uniformemente em [a, π], com 0 < a < π. Como sen nx, n ≥ 1, é uma função ímpar, segue que a série acima converge, também, uniformemente em [−π, −a].
Nosso objetivo, a seguir, é provar que
para todo x em ]a, π] e
em [−π, −a[, para todo a ∈ ]0, π[.
Consideremos a função
(Observe que
A função g é contínua, de classe C2 por partes e tal que g (−π) = g (π). Logo, sua série de Fourier converge uniformemente, em [−π, π], à própria função g. Determinemos, então, a série de Fourier de tal função.
Como g é uma função par
b = 0, n ≥ 1. n
Temos:
Logo, para todo x ∈ [−π, π],
Temos