6 Sequências de funções

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SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES

 

6.1. SEQUÊNCIA DE FUNÇÕES. CONVERGÊNCIA

Uma sequência de funções é uma sequência n ↦ f , onde cada f é uma n n função. Só consideraremos sequências de funções de uma variável real a valores reais.

Seja f uma sequência de funções definidas em A. Para cada x ∈ A, n

podemos considerar a sequência numérica de termo geral f (x). Seja B o n conjunto de todos os x, x ∈ A, para os quais a sequência numérica f (x) n converge. Podemos, então, considerar a função f : B → dada por

f(x) = f (x) n

Diremos, então, que f converge a f em B. n

EXEMPLO 1. Para cada natural n ≥ 1, seja f n (x) = x. Mostre que a

n

sequência de funções f converge, em ] − 1, 1], à função f dada por n

Solução

 

Precisamos mostrar que, para todo x ∈ ] − 1, 1],

f (x) = f(x). n

Para x = 1,

 

Para − 1 < x < 1,

f n (x) = x = 0.

n

Para | x | > 1 e x = − 1, a sequência numérica f (x), n ≥ 1, é divergente: n

f (x) = + ∞ se x > 1. n

e

f (x) não existe se x ≤ − 1. (Verifique.) n

Segue que, para todo x ∈ ] − 1, 1],

f (x) = f(x) n

onde

 

Observe que as f são contínuas em x = 1, mas a f não. Seja f : B → dada n 0 por

f(x) = f (x) n

e seja x ∈ B. Mais adiante estabeleceremos uma condição suficiente para 0

que a continuidade das f em x implique a continuidade de f em x . n 0 0

■

 

EXEMPLO 2. Determine o domínio da função f dada por

 

Solução EXEMPLO 3. Para cada natural n, n ≥ 1, seja f dada por n

O domínio de f é o conjunto de todos x para os quais a sequência n sen

, n ≥ 1, converge. Temos, para todo x ≠ 0,

 

Se x = 0,

 

Segue que, para todo x real,

 

Logo, o domínio de f é e, para todo x, f (x) = x.

 

Do que vimos acima, resulta que a sequência de funções f , n ≥ 1, onde n f é dada por f (x) = n sen , converge a f em . Observe que, à medida que n n

n cresce os gráficos das f vão “encostando” cada vez mais no gráfico de f. n

■

 

a) Esboce o gráfico de f . n

b) Mostre que, para todo x ∈ [0, 1], f (x) = 0. n c) Calcule

d) Calcule

e) Compare c e d.

Solução

a)

 

b) Para cada x ∈ [0, 1], f (x) = 0 (por quê?). Segue que a sequência f , n n n ≥ 1, converge, em [0, 1], à função f dada por f (x) = 0, 0 ≤ x ≤ 1. c) Para cada n ≥ 1,

Daí

 

 

d)

 

e) não

podem ser permutados.

■

 

Observação. Uma das nossas tarefas a seguir será a de determinar

condições para que os símbolos possam ser permutados.

 

Exercícios 6.1

 

1. Determine o domínio da função f dada por

 

Esboce os gráficos de f e f. n