9.2 Uma condição suficiente para convergência uniforme de uma série de Fourier

b) Prove que

 

(Sugestão: Veja Teorema 3 da Seção 7.4.)

5. 3 Suponha f: [−π, π] → de classe C, f(−π) = f(π) e f′ (−π) = f′ (π).

Seja F: → dada por

 

onde a série de 2.º membro é a série de Fourier de f. Prove que, para todo x ∈ ,

 

(Sugestão: Prove que existe M > 0 tal que, para todo

e utilize o Teorema 3 da Seção 7.4.)

 

9.2. UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA

CONVERGÊNCIA UNIFORME DE UMA SÉRIE

DE FOURIER

Vimos no Exemplo 5 da seção anterior que, se f for de classe C 2 em [−π, π] e f(−π) = f(π), então a sua série de Fourier será uniformemente convergente em . Nosso objetivo nesta seção é provar que se f for contínua, de classe C2 por partes em [−π, π] e se f(−π) = f(π), então a sua série de Fourier será, também, uniformemente convergente em .

Inicialmente, vamos definir função de classe C2 por partes.

Seja f: [−π, π] → . Dizemos que f é de classe C2 por partes se existir uma partição

−π = x < x < x < ... < x < x < ... < x = π 0 1 2 i−1 i n

do intervalo [−π, π] e, para cada índice i, i = 1, 2, ..., n, existir uma função

 

f : [x , x ] → i i−1 i

de classe C 2 e tal que, para todo x ∈ ]x , x [,

i−1 i

f(x) = f (x). i

EXEMPLO 1. Mostre que a função

 

é de classe C2 por partes.

Solução

Sejam

f (x) = −1, x ∈ [−π, 0] 1

e

f 2 (x) = x, x ∈ [0, π]

2

As funções f 2 ª e f são de classe C , pois suas derivadas de 2. ordem são

1 2

contínuas. Além disso,

 

f(x) = f (x) em ]−π, 0[ 1

e

f(x) = f (x) em ]0, π[. 2

Logo, f é de classe C 2 por partes.

■

 

Sugerimos ao leitor dar exemplo de uma função f: [−π, π] → que seja contínua e de classe C2 por partes.

O próximo teorema nos conta que se f for contínua, de classe C 2 por partes em [−π, π] e tal que f(−π) = f(π), então sua série de Fourier convergirá uniformemente em .

 

Teorema. Seja f: [−π, π] → e tal que f(−π) = f(π). Suponha,

ainda, que f seja contínua e de classe C 2 por partes em [−π, π]. Então a série de Fourier de f converge uniformemente em .

 

Demonstração

Para simplificar, suporemos f da forma onde f 2 : [−π, a] → e f : [a, π] → são supostas de classe C e f (a) = f (a).

1 2 1 2

(Esta última condição é para garantir a continuidade de f.) Temos, também,

f (−π) = f (π). (Esta condição segue da hipótese.) Para provar que a série de 1 2

Fourier de f converge uniformemente em é suficiente provar que existe M > 0 tal que, para todo x ∈ e todo n ≥ 1,

 

e

 

Temos

 

Integrando por partes, vem

 

onde

 

onde

Portanto,

 

Mas

 

e

 

Logo, existe M > 0 tal que 1

 

(Determine um valor para M que resolve.) Do mesmo modo, mostra-se que 1

existe M > 0 tal que 2

 

Logo, para todo x ∈ e todo n ≥ 1,

 

A convergência uniforme, em , segue então do critério M de Weierstrass.

■

 

EXEMPLO 2. Mostre que a série de Fourier de