12.3 Método prático para resolução de um sistema homogêneo, com duas equações diferenciais lineares de 1.ª ordem e com coeficientes constantes

12.3. MÉTODO PRÁTICO PARA RESOLUÇÃO DE UM

SISTEMA HOMOGÊNEO, COM DUAS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS L ª INEARES DE 1.

ORDEM E COM COEFICIENTES CONSTANTES

Consideremos o sistema

 

e sejam λ e λ as raízes da equação característica 1 2

 

isto é, λ e λ são os autovalores da matriz A do sistema . Do que 1 2

aprendemos nas duas seções anteriores, resulta o seguinte método prático

para se determinar a solução geral de no caso em que λ e λ são reais. O 1 2 caso em que λ e λ são complexos será visto mais adiante. 1 2

 

1.º Caso: a = a = 0. O sistema se reduz a 12 21

 

e a solução geral é

onde λ = a e λ = a . 1 11 2 22

 

2.º Caso: a ≠ 0 ou a ≠ 0 e λ ≠ λ . A solução geral é 12 21 1 2

 

onde são autovetores associados, respectivamente, a λ1

e λ . 2

 

3.º Caso: a ≠ 0 ou a ≠ 0 e λ = λ . A solução geral é 12 21 1 2

 

onde é autovetor associado a λ e 1

 

EXEMPLO 1. Resolva

Solução

 

= 2x 2 ⇔ x = k et

1

e

= −3y −3 ⇔ y = k e . t

2

A solução geral é

 

EXEMPLO 2. Resolva

 

Solução

A equação característica é

 

Os autovalores são: λ = 1 e λ = 3. Vamos, agora, determinar os autovetores 1 2

associados a estes autovalores. Primeiro, os autovetores associados a λ = 1. 1

este sistema é equivalente a (λ = 1) 1

 

2 m + 2 n = 0

e, portanto, m = − n. Os autovetores associados a λ = 1 são: 1

 

O autovalor λ = 1 fornece, então, a solução 1

 

Agora, os autovetores associados a λ = 3. 2

 

é equivalente a

 

e portanto, m = 0. Os autovetores associados a λ = 3 são 2

 

O autovalor λ = 3 fornece a solução 2

A solução geral é

 

Outro modo de resolver este sistema é o seguinte: da 1.ª equação = x

segue x = k et. Substituindo na 2.ª equação, vem 1

= 2k et + 3y, 1

cuja solução geral é

 

e, portanto,

y = k 3 . e − k e (Confira.) t t

2 1

A solução é, então,

 

Fazendo k = −c e k = c , resulta 1 1 2 2

 

que é a solução encontrada anteriormente.

■

EXEMPLO 3. Resolva

 

Solução

 

Os autovalores são: λ = −1 e λ = 2. Autovetores associados a λ = −1: 1 2 1

 

e como λ = −1, resulta 1

 

Logo, m = −2n e os autovetores associados a λ = −1 são: 1

 

Assim, o autovalor λ = −1 fornece a solução Determinemos, 1

agora, os autovetores de λ = 2. 2

 

é equivalente à equação

−m + n = 0

e, portanto, m = n. Os autovetores de λ = 2 são 2

 

Assim, o autovalor λ = 2 fornece a solução A solução geral é, então, 2

 

Outro modo de resolver o sistema dado é o seguinte. Da 1.ª equação, vem

= 2 .

Multiplicando a 2.ª equação por 2 e lembrando que 2y = , resulta

= 2x +

e, portanto,

− − 2x = 0.

Daí

x = k − 2 e + k e . (Confira.) t t

1 2

Segue que = −k − 2 e + 2k e . Substituindo na 1.ª equação do sistema dado, t t

1 2

obtemos

Fazendo k = −2c e k = c , resulta 1 1 2 2

 

que é a solução encontrada anteriormente.

■

 

EXEMPLO 4. Resolva

 

Solução

 

λ = 1 é o único autovalor. Determinemos os autovetores deste autovalor.

 

De λ = 1, resulta

−m + 2n = 0.

Os autovetores são:

O autovalor λ = 1 fornece então a solução Este autovalor fornece,

também, outra solução da forma

 

onde é uma solução do sistema

 

Este sistema é equivalente a (λ = 1)

 

que, por sua vez, é equivalente a

−m + 2n = 1.

Tomando-se m = 1, temos n = 1. Assim,

 

é outra solução fornecida pelo autovalor λ = 1. A solução geral é então

 

(Sugerimos ao leitor resolver o sistema dado pelo método do Exemplo 2 da Seção 12.1.)

■

O próximo exemplo facilitará as coisas no caso em que os autovalores são complexos. Observamos que, tendo em vista o Apêndice 1 do vol. 2, tudo o que aprendemos nas duas seções anteriores aplica-se se supusermos as funções definidas em e com valores em . Reveja tal apêndice!

 

EXEMPLO 5. Sejam x = x (t), y = y (t), x = x (t) e y = y (t) funções a 1 1 1 1 2 2 2 2 valores reais definidas em . Suponha que

 

(i é a unidade imaginária) seja solução do sistema . Prove que

 

são, também, soluções.

Solução

Sendo solução de , temos

 

e, portanto,

 

Logo, são soluções do sistema .

■

 

EXEMPLO 6. Resolva

 

Solução

 

Vamos, agora, determinar um autovetor associado ao autovalor λ = 1 + 2i.

 

De λ = 1 + 2i, resulta

 

Multiplicando a 2.ª equação por i, obtemos a 1.ª equação. Logo, o sistema acima é equivalente a

−im + n = 0.

Para m = 1, temos n = i. Assim,

 

é uma solução do sistema. Como

e(1 + 2 ) t =e (cos 2t + i sen 2t), i t

resulta

 

Pelo exemplo anterior,

 

são, também, soluções do sistema. O wronskiano, em t = 0, destas soluções é

 

Assim,

 

é a solução geral do sistema dado. Gostou?!

■

 

Exercícios 12.3

 

1. Resolva

2. Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

 

Desenhe a trajetória da solução encontrada.

 

3. Uma partícula é abandonada na posição (1,0). Sabe-se que na posição

(x, y) sua velocidade é

 

Desenhe a trajetória descrita pela partícula.

4. Considere o sistema

 

a) Prove que se

for uma solução deste sistema, então será, também, solução da equação

 

2 dx − dy = 0.

Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta y − 2x = k, para alguma constante k.

b) Determine a solução geral do sistema.

c) Seja c um real dado, desenhe a trajetória da solução que satisfaz

as condições iniciais x(0) = 0 e y(0) = c.

d) Seja c ≠ 0 um real dado. Desenhe a trajetória da solução que

satisfaz as condições iniciais x (0) = −c e y (0) = c.

5. Considere o sistema

 

Sejam λ e λ as raízes da equação característica 1 2

 

Seja

 

uma solução qualquer do sistema. Prove.

 

a) Se λ < 0 e λ < 0, então 1 2

b) Se λ = α + iβ e λ = α − iβ, com α < 0 e β ≠ 0, então 1 2

 

c) Se λ = iβ e λ = iβ, β ≠ 0, então a trajetória da solução que passa 1 2

pelo ponto (x , y ) ≠ (0, 0) é uma elipse. 0 0

d) Suponha λ > 0 ou λ > 0. Prove que existe uma solução 1 2

 

tal que

 

6. Considere o sistema

 

a) Determine a solução geral.

b) Desenhe a trajetória da solução γ(t) = (x(t), y(t)) que satisfaz a

condição inicial

 

c) Calcule onde γ(t) é a solução do item b.

7. Considere o sistema

Prove que a + a = 0 é uma condição necessária para que as 11 22

trajetórias das soluções sejam elipses. Tal condição é suficiente?

8. 1 2 Seja de classe C em tal que, para

todo (x, y) em 2, Prove que não existe curva γ: [a, b] →

2 1 de classe C, simples, fechada, orientada no sentido anti-horário

(ou horário) cuja imagem seja a fronteira de um compacto K, com interior não vazio, tal que, para todo t ∈ [a, b],

(Sugestão: Calcule diretamente e utilizando o teorema de

Green.)

9. Resolva o Exercício 8 utilizando o Exercício 7.

10. As trajetórias são elipses? Justifique.

 

11. Determine a para que as soluções do sistema

 

sejam periódicas. Qual o período?

12. Dois tanques 1 e 2, contendo soluções de água e sal, estão

interligados por dois tubos que permitem que a solução de um tanque

escoe para o outro e vice-versa. Sabe-se que as quantidades de sal S 1 = S (t) e S = S (t) nos tanques estão variando nas seguintes taxas 1 2 2

Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a quantidade de sal (em kg) no

tanque 1 era de S (0) = 15 e no tanque 2 de S (0) = 5. 1 2 a) Determine as quantidades de sal existentes nos tanques no instante t ≥ 0.

b) Calcule . Interprete.

13. Considere o sistema

 

a) Determine condições para que

 

b) Determine condições para que a solução (x(t), y(t)) tenda para a origem quando t → +∞, e em espiral.

14. Os lados x = x (t) e y = y (t) de um retângulo estão variando com o

tempo nas seguintes taxas

 

Sabe-se que, no instante t = 0, x (0) = 2 e y (0) 3. Determine o instante em que a área do retângulo é mínima.

15. Suponha que entre dois ambientes 1 e 2 haja troca de calor. Sejam T 1

= T (t) e T = T (t) as temperaturas, no instante t, nos ambientes 1 e 1 2 2

2, respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas

 

Suponha que T (0) = 20 e T (0) = 20. (As temperaturas são dadas em 1 2 graus centígrados e o tempo em segundos.)

 

a) Mostre que as temperaturas estão variando periodicamente com o

tempo.

b) Determine T = T (t) e T = T (t). 1 1 2 2 c) Determine as temperaturas máxima e mínima no ambiente 2.

d) Desenhe a trajetória descrita pelo ponto (T (t), T (t)). 1 2

16. Sejam T = T (t) e T = T (t) as temperaturas, no instante t, nos 1 1 2 2

ambientes 1 e 2, respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas

 

Suponha que T (0) = 20 e T (0) = 10. 1 2

 

a) Determine as temperaturas, no instante t, nos ambientes 1 e 2.

Esboce os gráficos de T = T (t), t ≥ 0 e T = T (t), t ≥ 0. 1 1 2 2

b) Interprete.

c) Desenhe a trajetória descrita pelo ponto (T (t), T (t)), t ≥ 0. 1 2

17. Suponha que x = x (t) e y = y(t), t ∈ , seja solução do sistema

 

Prove que o quadrado da distância do ponto (x (t), y (t)), t ∈ , à origem é constante. (Sugestão: Calcule a derivada, em relação a t, da função C(t) = [x (t)]2 2 + [ y (t)].) Interprete.

18. Suponha que x = x (t) e y = y (t), t ≥ 0, seja solução do sistema

 

Calcule a derivada da função dada por C(t) = [x (t)]2 2 + [y (t)], t ≥ 0. O que se pode concluir a respeito da distância do ponto (x (t), y (t)) à origem? Interprete.

19. Suponha que x = x (t) e y = y (t), t ≥ 0, seja solução do sistema

 

Calcule a derivada da função dada por C(t) = [x (t)]2 2 + [y (t)], t ≥ 0. O que se pode concluir a respeito da distância do ponto (x (t), y (t)), t ≥ 0, à origem? Interprete.