12.4 Sistemas com três equações diferenciais lineares de 1.ª ordem, homogêneas e com coeficientes constantes

12.4. SISTEMAS COM TRÊS EQUAÇÕES

D ª IFERENCIAIS L INEARES DE 1. ORDEM,

HOMOGÊNEAS E COM COEFICIENTES

CONSTANTES

Consideremos o sistema

 

onde os a são números reais dados. Pode ser provado que o teorema de ij

existência e unicidade enunciado e provado na Seção 12.1 se estende a sistemas com três ou mais equações diferenciais lineares de 1.ª ordem, homogêneas e com coeficientes constantes. Procedendose, então, como na Seção 12.1, prova-se que se

 

são três soluções de com wronskiano

 

diferente de zero, em t = 0, (W(0) ≠ 0), então a solução geral de será

Sejam λ , λ e λ os autovalores da matriz A do sistema , isto é, raízes 1 2 3

da equação característica

 

Suponhamos λ , λ e λ reais. Pode ser provado que existem vetores 1 2 3

 

linearmente independentes, tais que a solução geral de pode ser expressa em uma das formas abaixo:

 

ou

 

ou

 

A segunda forma acima só poderá ocorrer se λ ≠ λ = λ ou λ = λ = λ . A 1 2 3 1 2 3 terceira forma só poderá ocorrer quando λ = λ = λ . A seguir, 1 2 3 estabeleceremos um método prático para se determinar u, υ e w.

1.º Caso: a 0 para i ≠ j. O sistema se reduz a ij

 

 

e a solução geral é

 

onde λ = a , λ = a e λ = a . 1 11 2 22 3 33

 

2.º Caso: λ , λ e λ são reais e distintos. A solução geral é 1 2 3

 

onde é um autovetor associado a λ , i = 1, 2, 3. i

 

3.º Caso: λ ≠ λ = λ e λ admite dois autovetores linearmente 1 2 3 2 independentes. A solução geral é

onde é autovetor associado a λ e autovetores 1

associados a λ . 2

 

O 3.º caso ocorrerá quando o sistema homogêneo

 

for equivalente a uma única equação

am + bn + cp = 0,

com a, b e c não simultaneamente nulos. Supondo, para fixar o raciocínio, a

≠ 0 e fazendo , resulta que os autovetores associados a λ 2

são

 

com n e p não simultaneamente nulos. Os autovetores são

linearmente independentes, pois

4.º Caso: λ ≠ λ = λ e o número máximo de autovetores 1 2 3

 

linearmente independentes associados a λ é 1. A solução geral é 2

 

onde é autovetor associado a λ , i = 1, 2, e i

 

O 4.º caso ocorrerá quando o sistema

 

for equivalente a

 

com

Neste caso, os autovetores associados a λ serão da forma 2

 

onde é um autovetor de λ . 2

 

5.º Caso: λ = λ = λ e λ admite três autovetores linearmente 1 2 3 1 independentes. Neste caso, o sistema será da forma

 

com a = a = a . É do tipo estudado no 1.º caso. 11 22 33

 

Observe que se λ admite três autovetores linearmente independentes, 1

então, quaisquer que sejam os reais m, n e p não simultaneamente nulos, o

vetor será autovetor de λ . (Verifique.) Segue que, quaisquer que sejam 1

os reais m, n e p, teremos

e isto só será possível se

 

 

Daí, a = 0 para i ≠ j e λ = a = a = a . ij 1 11 22 33

 

6.º Caso: λ = λ = λ e o número máximo de autovetores 1 2 3

linearmente independentes associados a λ é 2. A solução geral é 1

 

onde são dois autovetores linearmente independentes

associados a λ e 1

 

onde é um autovetor de λ . 1

Vejamos um modo prático de se determinar . É claro

que basta determinar υ. O sistema pode ser escrito assim:

(A − λ I) υ = u. 1

Multiplicando-se os dois membros da equação acima por A − λ I e 1 lembrando que o produto de matrizes é associativo, resulta

(A − λ 2 I) υ = (A − λ I) u.

1 1

Como u deve ser autovetor e, portanto, (A − λ I) u = 0 e u ≠ 0, resulta que υ 1 deve satisfazer as condições

 

e

 

Observe que (A − λ 2 I) é o produto da matriz A − λ I por ela mesma. A

1 1

condição nos diz que υ não pode ser autovetor de λ . Assim, υ é uma 1 solução de que não é autovetor de λ . Determinado υ, calcula-se u 1 através da relação . Então, para se determinar u e υ proceda da seguinte forma.

 

Primeiro calcula-se o quadrado da matriz A − λ I. Em seguida, 1 resolve-se o sistema

(A − λ 2 I) υ = 0.

1

O υ procurado é aquela solução da equação acima que não é

autovetor de λ , ou seja, 1

(A − λ I) υ ≠ 0. 1

Determinado υ, calcula-se u através da relação

 

(A − λ I) υ = u. 1

 

Observação. O autovetor u acima não tem obrigação alguma de ser igual a

ou a . Tal u deverá ser, com certeza, uma combinação

linear de u e u . (Confira.) 1 2

 

7.º Caso: λ = λ = λ e o número máximo de autovetores 1 2 3

linearmente independentes associados a λ é 1. A solução geral é 1

 

onde u é autovetor associado a λ e υ e w são dados por 1

e

 

No caso acima, pode-se primeiro determinar um autovetor u e, em seguida, através de e determinam-se υ e w. Ou, então, determina-se primeiro w procedendo-se da seguinte forma. Multiplicando-se os dois

membros de pela matriz A − λ I, vem 1

(A − λ 2 I) w = (A − λ I) υ = u.

1 1

Daí, como u deve ser autovetor, devemos ter

 

e

 

Então, determina-se w satisfazendo e e, através das relações e , determinam-se υ e u.

O 7.º caso ocorrerá quando o sistema

 

for equivalente a

onde

 

EXEMPLO 1. Resolva

 

Solução

 

A solução geral é

 

EXEMPLO 2. Resolva

 

Solução

Os autovalores são: λ = −1, λ = 1 e λ = 2. Determinemos os autovetores 1 2 3 associados a λ = −1. 1

 

é equivalente a (λ = −1) 1

 

Este é equivalente a

 

Assim, o sistema acima é equivalente a

 

Daí, n = −2p e m = 0. Os autovetores associados a λ = −1 são: 1

 

O autovalor λ = −1 fornece então a solução 1

Fica a seu cargo verificar que

 

são autovetores associados, respectivamente, aos autovalores λ = 1 e λ = 2. 2 3 A solução geral é então

 

Se A admite autovalores complexos, o procedimento é similar ao da seção anterior. Veja exemplo abaixo.

EXEMPLO 3. Resolva

 

Solução

 

Os autovalores são: λ = 1, λ = i e λ = −i. Fica a seu cargo verificar que 1 2 3

são autovetores associados, respectivamente, a λ = 1 e λ = i. Temos 1 2

 

A solução geral é

 

Só para conferir, verifique que o wronskiano das três soluções que entram na solução geral acima é diferente de zero, em t = 0.

■

 

EXEMPLO 4. Resolva

 

Solução

 

Os autovalores são: λ = 2 e λ = λ = 1. Um autovetor associado a λ = 2 é 1 2 3 1

Vamos, agora, determinar autovetores associados a λ = 1. 2

 

é equivalente a (λ = 1) 2

−m + n + p = 0. (Confira.)

Daí, os autovetores associados a λ = 1 são 2

 

com n e p não simultaneamente nulos. Assim,

 

são autovetores linearmente independentes associados a λ = 1. A solução 2 geral é

 

EXEMPLO 5. Resolva

Solução

 

Os autovalores são: λ = 2 e λ = λ = 1. Um autovetor associado a λ = 2 é 1 2 3 1

. (Verifique.) Determinemos, então, os autovetores associados a λ = 1. 2

 

é equivalente a

 

Resolvendo nas incógnitas m e n, obtemos m = p e n = p. Os autovetores

associados a λ = 1 são 2

 

Assim, o autovalor λ = 1 fornece a solução 2

 

Este autovalor fornece outra solução da forma

onde o 1.º vetor é uma solução de

 

 

Este sistema é equivalente a (λ = 1) 2

 

Tomando p = 1, teremos m = 0 e n = 1. A solução geral é

 

EXEMPLO 6. Resolva

 

Solução

 

Os autovalores são: λ = λ = λ = 1. Determinemos os autovetores 1 2 3 associados a λ = 1. 1

é equivalente à única equação

 

Então, os autovetores de λ são 1

 

com m e p não simultaneamente nulos. Temos, então, as soluções

 

Como vimos (6.º caso), há outra solução da forma [w + tw ] et, onde 1

 

e

(A − λ I) w ≠ 0. 1

Devemos então determinar w que satisfaça a 1.ª equação acima e que não seja autovetor de λ 2 . Primeiro, calculemos (A − λ I):

1 1 e, portanto,

 

Segue que, quaisquer que sejam os reais m, n e p, satisfaz .

Agora, é só escolher m, n e p de modo que w não satisfaça , ou seja, de modo que w não seja autovetor. Basta, então, escolher m, n e p que não satisfaça . A escolha m = 0, n = 0 e p = 1 resolve o problema. Logo,

 

A solução geral é

 

Como é autovetor de λ = 1 e é linearmente independente com , a 1

solução geral pode, também, ser dada na forma

 

EXEMPLO 7. Resolva

Solução

 

Os autovalores são: λ = λ = λ = 1. Determinemos os autovetores 1 2 3 associados a λ = 1. 1

 

é equivalente a

 

Este é equivalente a

 

Segue que o nosso sistema é equivalente a

 

Daí, m = p e n = 2p e os autovetores de λ = 1 são 1

Estamos, então, no 7.º caso. Tomando , vamos determinar υ e w

satisfazendo as condições

 

(A − λ I) υ = u 1

e

(A − λ I) w = υ. 1

Assim, υ é solução do sistema

 

que é equivalente a

 

Tomando-se p = 0, resultam m = −2 e n = −3. Com , determinemos

w. Este w é uma solução qualquer do sistema

 

que é equivalente a Tomando-se p = 0, resultam m = 3 e n = 4. Assim, . A solução geral

é

 

Sugerimos ao leitor determinar u,υ e w pelo outro processo.

Em algumas situações poderá ser mais rápido resolver o sistema diretamente. Vejamos alguns exemplos.

EXEMPLO 8. Resolva

 

Solução

Das duas primeiras equações segue

 

A solução geral desta equação é

 

Daí,

 

Da 3.ª equação, obtemos

A solução geral é, então,

 

 

EXEMPLO 9. Resolva

 

Solução

 

Assim,

 

A equação característica desta equação é

λ3 2 − 3λ + 3λ − 1 = 0.

Como λ3 2 3 − 3λ + 3λ − 1 = (λ −1), resulta que as três raízes são iguais: λ =

1

λ = λ = 1. A solução da equação acima é 2 3

 

Temos, então,

e

 

A solução geral do sistema dado é

 

Fazendo-se c = 2k , c = 2k e c = k , resulta 1 1 2 2 3 3

 

Prova-se que o sistema poderá ser transformado em um sistema com uma das formas abaixo:

 

ou

 

ou (A prova é um belo exercício que fica para o leitor!) Todo sistema de equações diferenciais lineares de 1.ª ordem, com coeficientes constantes, pode ser transformado em um outro equivalente que conta tudo sobre o sistema: é o sistema na forma canônica de Jordan. Para uma demonstração bastante elementar da forma canônica de Jordan, veja referência bibliográfica 20.

Exercícios 12.4

 

1. Resolva

 

2. O movimento de uma partícula no espaço é regido pela equação

Desenhe a trajetória da partícula sabendo que no instante t = 0 ela se encontra na posição (1, 0, 1).

3. Considere o sistema

 

Seja x = x (t), y = y (t) e z = z (t) a solução que satisfaz as condições iniciais x (0) = x , y (0) y e z (0) = z . Mostre que 0 0 0

 

4. O movimento de uma partícula no espaço é regido pelo sistema

 

Seja (x (t), y (t), z (t)) a posição da partícula no instante t. Mostre que, se z(0) = −x (0), então o movimento é periódico.

5. Suponha que três tanques A, B e C contendo, cada um, uma solução

de água e sal estão interligados de modo que do tanque A escoe solução para os tanques B e C, do B escoe solução para A e C e de C escoe solução para A e B. Sejam x (t), y (t) e z (t) as quantidades (em kg) de sal nos tanques A, B e C, respectivamente. Sabendo que

e que x (0) = 2, y (0) = 5 e z (0) = 8, calcule (x(t), y(t), z(t)).

Interprete.

6. Seja W (t), t ∈ , o wronskiano de três soluções do sistema :

 

mostre que

 

(Observação. Este resultado é o teorema de Abel-Liouville para sistemas com três equações. Generalize.)

7. Estabeleça um método prático para se determinar a solução geral de

um sistema com quatro equações diferenciais lineares, de 1.ª ordem, homogêneas e com coeficientes constantes.

(Observação: Quando λ = λ = λ = λ , poderá ocorrer solução do 1 2 3 4 tipo