2 Séries numéricas

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SÉRIES NUMÉRICAS

 

2.1. SÉRIE NUMÉRICA

Seja a , n ≥ q e q um natural fixo, uma sequência numérica; a sequência n

de termo geral

 

denomina-se série numérica associada à sequência a . Os números a , n ≥ q, n n são denominados termos da série; a é o termo geral da série. Referir-nos-n emos a como soma parcial de ordem n da série.

O limite da série, quando existe (finito ou infinito), denomina-se soma

da série e é indicada por Assim

 

Se a soma for finita, diremos que a série é convergente. Se a soma for infinita (+∞ ou −∞) ou se o limite não existir, diremos que a série é divergente.

O símbolo foi usado para indicar a soma da série. Por um abuso

de notação, tal símbolo será utilizado ainda para representar a própria série.

Falaremos, então, da série , entendendo-se que se trata da série cuja

soma parcial de ordem n é

Escreveremos com frequência

 

Trabalhar com a série é o mesmo que trabalhar com a série

onde b = a , k ≥ 0. Por esse motivo, de agora em diante, todos os k k+ q

resultados serão estabelecidos para as séries

A seguir vamos destacar algumas propriedades imediatas das séries.

Demonstração

 

Daí

 

e, portanto, c) Para p ≥ 1 e n ≥ p,

 

Fixado p,

 

pois, para p fixo, é uma constante. Daí

 

desde que uma das séries seja convergente. (É claro que,

se for convergente, deveremos ter

 

■

 

EXEMPLO 1 (Série geométrica). Mostre que, para 0

 

Solução

 

Como |r| < 1, Daí

Logo, a série dada é convergente e tem por soma

 

 

A série onde é um real dado, denomina-se série harmônica de

ordem α. O próximo exemplo mostra que a série harmônica de ordem é convergente para α > 1 e divergente para α ≤ 1.

 

EXEMPLO 2 (Série harmônica). Considere a série harmônica

 

Prove

 

é convergente

 

Solução

a) A sequência de termo geral é crescente. (Verifique.) Vamos

mostrar, a seguir, que é limitada superiormente.

A sequência é crescente e

(verifique). Assim, para todo Segue que, para todo

Portanto, é limitada superiormente. Como

é crescente, resulta que tal sequência é convergente, isto é, a série

com α > 1, tem soma s finita e

Como estamos supondo Segue que

Portanto, para α ≤ 1, a série é divergente e

■

No próximo exemplo, consideramos uma série harmônica de ordem α, com α > 1, e avaliamos o erro que se comete ao aproximar a soma s da série pela soma parcial

 

EXEMPLO 3. Supondo α > 1 e sendo mostre que Solução

 

Daí

 

De

 

segue

 

Como resulta

 

A desigualdade acima nos diz que a soma parcial é um

valor aproximado (por falta) da soma s da série, com erro inferior a

 

■

EXEMPLO 4 (Série telescópica). Considere a série e suponha que

a = b − b + , k ≥ 1. (Uma tal série denomina-se série telescópica.) k k k 1

a) Verifique que

b) Conclua que se com b real, então a soma da série será

finita e igual a b − b. 1

Solução

 

EXEMPLO 5. Calcule a soma

 

Solução

Trata-se então de uma série telescópica:

 

Logo,

O próximo exemplo mostra como utilizar as séries do Exemplo 5 para acelerar a convergência da série Com auxílio das séries de

Fourier, prova-se que a soma desta série é (Na página 328 da referência

bibliográfica 9 você encontrará a bela “prova” de Euler para este resultado.)

EXEMPLO 6. Sendo onde mostre que

 

Solução

a) É o exemplo 3 com α = 2.

 

b) Pelo exemplo anterior,

 

Daí e, portanto,

Pelo Exemplo 3,

 

 

Logo,

 

c) Vimos pelo item b) que e, pelo exemplo anterior,

daí

 

e, portanto,

 

Logo,

 

Como

 

resulta

Observação. O item a) nos diz que é uma aproximação (por

falta) de s com erro inferior a Assim, para se ter, por exemplo, um erro inferior a 10 −3 é preciso tomar n no mínimo igual a 1000. O item b) nos diz que

 

com erro inferior Neste caso, com n = 23 já conseguimos um erro

inferior a 10 −3 Pelo item c)

 

com erro inferior −3 Agora basta n = 9 para que o erro seja inferior a 10.

A convergência pode ser acelerada ainda mais. Pense!

EXEMPLO 7. Supondo 0 < α ≤ 1, mostre que

 

Solução

a) Este problema será resolvido com auxílio da progressão geométrica. Sabemos que

Daí

 

 

Fazendo r = −x 2, resulta

 

Como arc tg dx, resulta

 

Agora é só mostrar que, para 0 < α ≤ 1, Seja então

0 < α ≤ 1.

Temos

 

Daí

 

e, portanto, De 0 < α ≤ 1, segue que e, portanto,

Fica provado assim que, para 0 < α ≤ 1,

 

(Esta série é conhecida como “Série de Gregory”, James Gregory (1638-1675). Veja referência bibliográfica 9.)

b) De resulta

 

e, portanto, tendo em vista ,

 

■

 

EXEMPLO 8. Verifique que

 

e avalie o módulo do erro que se comete na aproximação

 

Solução

Pelo exemplo anterior,

 

Ainda pelo exemplo anterior,

 

Assim, na aproximação

 

o módulo do erro é inferior a

 

■

 

Observação. De do exemplo anterior resulta

 

Daí, a aproximação acima será por falta se n for ímpar e por excesso se n for par.

EXEMPLO 9.

a) (Fórmula de Machin.) Verifique que b) Avalie o módulo do erro que se comete na aproximação

 

Solução

a) Vamos utilizar a fórmula

 

Primeiro vamos determinar b tal que

 

Pela fórmula acima

 

Daí, Assim arc tg arc tg Vamos, agora, determinar c tal

que

arc tg = arc tg + arc tg c.

Aplicando novamente a fórmula anterior, resulta

Então

Agora, determinamos d tal que arc tg = arc tg + arc tg d.

 

Raciocinando como acima, obtemos

Finalmente, deixamos a seu cargo

verificar que arc tg Temos então a bela fórmula

de Machin:

 

b) Temos

 

Como

 

resulta que o erro que se comete na aproximação acima é, em módulo, inferior a

Observação. Utilizando a sua fórmula, John Machin (1680-1751) calculou π com 100 casas decimais! A fórmula de Machin também foi utilizada por William Shanks (1812-1882) para calcular π com 707 casas decimais!!!

Com auxílio de uma calculadora e fazendo em b) n = 20, calcule você um valor aproximado para π. Que erro você estará cometendo nesta aproximação?

Exercícios 2.1

 

1. Calcule a soma da série dada.

 

2. Lembrando de que In e raciocinando como no

Exemplo 7, mostre que, para 0 < α ≤ 1, tem-se

3. Utilizando o Exercício 2, calcule a soma da série

 

 

4. Utilizando a relação 2 = ln mostre que

 

5. Mostre que

 

6. Supondo 0 < α < 1, mostre que

7. Utilizando o Exercício 6, mostre que

 

 

8. Determine n de modo que seja um valor aproximado de ln

2 com erro, em módulo, inferior a 10 −5. (Sugestão: Utilize os Exercícios 6 b) e 7 a).)

9. Lembrando que ln e raciocinando

como no Exemplo 7, mostre que

 

10. a) Mostre que para todo β > 0, com β ≠ 1, existe um único α, com 0 <

|α| <|1, tal que

b) Utilizando a) e o Exercício 9 a), mostre que ln

11. Utilizando o exercício anterior, mostre que

 

12. Determine n de modo que seja um valor

aproximado de ln 2 com erro, em módulo, inferior a 10 −5. Compare com o Exercício 8. (Sugestão: Utilize 9 b) e 11 a).)

13. Calcule as somas das séries

 

14. Mostre que

 

15. Mostre que

16. Partindo da fórmula de Machin, mostre que

 

17. Considere a sequência α , m ≥ 0, com α = 1 e α > 0 para todo m, m 0 m

dada por

 

2 arc tg α = arc tg α . m m − 1

Mostre que

 

(Interprete geometricamente α .) m

Observação. Partindo de

(verifique). Pois bem, o valor π de obtido por Arquimedes é

ou seja, Verifique que α é a metade do lado do 5

polígono regular de 96 lados circunscrito ao círculo de raio 1. (Veja página 93 da referência bibliográfica 9.)

18. Mostre que, para todo natural p ≥ 1,

 

(Sugestão: Veja Exemplo 6 e Exercício 1 i). Lembre-se, ainda, de que

 

19. Suponha que s seja a soma da série isto é, Mostre

que, para todo natural p ≥ 1, tem-se

 

Conclua que

 

20. Mostre que, para todo n ≥ 2,

 

Conclua que

 

21. Seja

 

a) Mostre que a é decrescente. n

b) Mostre que

 

c) Conclua que

(Sugestão: Verifique que ln e utilize o

Exercício 20.)

22. Considere a função Seja E 1 um real dado.

a) Calcule a área do retângulo limitado pela retas

onde k é um natural dado.

b) Calcule a soma da série

c) Mostre que

Observação. O Exercício 22 nada mais é do que o método de

Fermat para o cálculo da área do conjunto

onde Fermat supunha α racional,

com α > 1. (Veja Vol. 1, 5.ª edição.)

23. Mostre que