11 Equações diferenciais lineares de ordem n, com coeficientes constantes

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

LINEARES DE ORDEM n, COM

COEFICIENTES CONSTANTES

 

11.1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1.ª

ORDEM, COM COEFICIENTES CONSTANTES

Nesta seção e na próxima, vamos rever, rapidamente, assuntos já abordados no Cap. 5 do Vol. 2. Sugerimos ao leitor rever tal capítulo e o Apêndice 1.

Sejam dados um número a e uma função f definida e contínua num intervalo I. Uma equação diferencial linear, de 1.ª ordem, com coeficiente constante, é uma equação da forma

 

Multiplicando ambos os membros de at pelo fator integrante e,

obtemos

ou

 

 

pois

 

Como f é contínua em I, eat f(t) admite primitiva em I. De segue que x eat é da forma

 

ou

 

com k constante. Por outro lado, é fácil verificar que as funções da forma são soluções de . Chegamos, assim, ao importante resultado:

 

As soluções de

 

são as funções da forma

com k constante. (Reveja Seção 10.4 deste volume.)

 

 

Observe que, no cálculo de , a constante de integração pode

ser omitida, pois tal constante já está incorporada na constante k; isto significa que, em , estamos olhando como uma particular

primitiva de eat f (t).

Seja t um real fixo em I. Como 0

 

é uma particular primitiva de eat f (t), segue que a fórmula pode, também, ser colocada na forma

 

EXEMPLO 1. Considere a equação

 

a) Determine a solução geral.

b) Determine a solução que satisfaz a condição inicial x (0) = 1.

Solução a) Tendo em vista , a solução geral é (a = −1 e f (t) = sen t)

 

Como (verifique), resulta

 

b) Precisamos determinar k para se ter x = 1 para t = 0.

 

A solução que satisfaz a condição inicial dada é

 

EXEMPLO 2. Na figura abaixo está representado um circuito utilizado para carregar um capacitor.

 

Mostra-se em física que a carga q = q (t) no capacitor é regida pela equação dq q onde R é a resistência, C a capacitância e E a força eletromotriz. Supondo R, C e E constantes e q (0) = 0, determine a carga, no instante t, no capacitor.

Solução

A equação dada é equivalente a

 

A solução geral é

 

Como , resulta

 

ou seja,

 

pois . Para se ter q (0) = 0, devemos tomar k = −EC. Portanto,

 

é a carga, no instante t, no capacitor.

■

Para finalizar a seção, observamos que, se em substituirmos x por y e t por x, obtemos a equação

 

cuja solução geral é

 

Exercícios 11.1

 

1. Determine a solução geral.

 

2. Uma partícula desloca-se no eixo Ox de modo que a soma da

velocidade com a posição x = x (t) é constante e igual a 2. Sabe-se que x (0) = 0.

a) Determine a posição x = x (t) da partícula no instante t. b) Esboce o gráfico da solução encontrada. (Suponha t ≥ 0.)

3. 2 Uma partícula desloca-se sobre a parábola y = x. Sabe-se que o

movimento da sua projeção sobre o eixo Ox é regido pela equação

 

e que x (0) = 0. Determine a posição da partícula no instante t.