A1.2 Teorema de existência

(Observe que, para todo n ≥ 1, o gráfico de y está contido em Q.) Tal n sequência de funções denomina-se sequência de Picard para o problema

 

 

Provaremos, na próxima seção, que a sequência acima converge uniformemente a uma função y = y(x), x ∈ [x − r, x + r], e que esta função 0 0 é uma solução do problema .

 

A1.2. TEOREMA DE EXISTÊNCIA

Seja f : Ω 2 ⊂ → , Ω aberto, e seja (x , y ) ∈ Ω. Suponhamos que f e

0 0

sejam contínuas em Ω. Sejam r e Q como no Lema 3 da seção anterior.

Seja K como no Lema 2. Nosso objetivo, a seguir, é provar que a sequência de Picard

 

converge uniformemente convergente em [x − r, x + r]. 0 0

Consideremos a série

 

Observamos que, para todo n ≥ 1,

Deste modo, a sequência será uniformemente convergente em [x − r, 0 x + r] se a série o for. Basta, então, provar que 0

 

é uniformemente convergente em [x − r, x + r]. 0 0

Seja M o valor máximo de

 

| y (x) − y (x) | 1 0

em [x − r, x + r]. (Tal máximo existe, pois y e y são contínuas.) 0 0 1 0

Segue do Lema 2 da seção anterior que

 

para todo s ∈ [x − r, x + r]. 0 0

Temos

 

Daí, para todo x ∈ [x − r, x + r], 0 0

 

tendo em vista ,

e, portanto,

 

 

para todo x ∈ [x − r, x + r]. (Lembre-se de que M é o valor máximo de | 0 0

y (s) − y (s) | em [x − r, x + r] e, portanto, neste intervalo, 1 0 0 0

| y (s) − y (s) | ≤ M.) 1 0

Temos

 

Segue que, para todo x ∈ [x − r, x + r], 0 0

 

e, tendo em vista ,

 

e, portanto, para todo x ∈ [x − r, x + r], 0 0

 

Prosseguindo com este raciocínio, conclui-se que

para todo x ∈ [x − r, x + r]. Como, neste intervalo, | x − x | ≤ r, resulta 0 0 0

 

 

para todo natural n ≥ 1 e para todo x no intervalo [x − r, x + r]. Como a 0 0 série numérica

 

é convergente (verifique), resulta, pelo critério M de Weierstrass, que a série

 

é uniformemente convergente no intervalo [x − r, x + r]. 0 0

Segue que a sequência de Picard

 

converge uniformemente em [x − r, x + r]. Seja y = y(x), x ∈ [x − r, x + 0 0 0 0 r], dada por

 

Vamos provar que, para todo x ∈ [x − r, x + r], 0 0

Segue de que, para todo x no intervalo [x − r, x + r], 0 0

 

e, portanto,

 

Para podermos permutar os símbolos

 

vamos precisar provar a convergência uniforme, em [x − r, x + r], da 0 0 sequência

f (s, y (s)), n ≥ 1. n−1

É de imediata verificação que o gráfico da função y = y(x), x ∈ [x − r, 0 x + r], dada em , está contido no retângulo Q. (É só observar que y (x) ∈ 0 n [y − b, y + b], para todo natural n e para todo x ∈ [x − r, x + r], e lembrar 0 0 0 0 que y(x) é o limite de y (x) para n tendendo a + ∞.) n

Segue, então, de que

 

| f (s, y (s)) − f (s, y(s)) | ≤ K | y (s) − y(s) | n−1 n−1 para todo n ≥ 1 e para todo s no intervalo [x − r, x + r]. A convergência 0 0 uniforme de f (s, y (s)) a f (s, y(s)) segue, então, da convergência uniforme n−1

de y (s) a y(s). Resulta, então, de que n−1

 

e, portanto,

 

para todo x ∈ [x − r, x + r], pois 0 0

 

Segue do Lema 1 da seção anterior que y = y(x), x ∈ [x − r, x + r], é 0 0 solução da equação

y' = f (x, y)

e satisfaz a condição inicial y(x ) = y . 0 0

Demonstramos, assim, o seguinte

 

Teorema (de existência). Seja f : Ω 2 ⊂ → , Ω aberto, e seja

(x , y ) ∈ Ω. Suponhamos f e contínuas em Ω. Nestas 0 0

condições, a equação

y' = f (x, y)