7.3 O critério M de Weierstrass para convergência uniforme de uma série de funções

Critério de Cauchy (para convergência uniforme de uma série de

 

funções). A série de funções converge uniformemente, em

B, à função se, e somente se, para todo > 0 dado,

existir um natural n tal que, quaisquer que sejam os naturais m e n 0

e para todo x ∈ B,

 

Observe que

 

7.3. O CRITÉRIO M DE WEIERSTRASS PARA

CONVERGÊNCIA UNIFORME DE UMA SÉRIE

DE FUNÇÕES

 

Critério M de Weierstrass. Seja uma série de funções e

suponhamos que exista uma série numérica tal que, para

todo x ∈ B e para todo natural k,

Nestas condições, se a série for convergente, então a série

convergirá uniformemente, em B, à função

 

Demonstração

 

Sendo, por hipótese, convergente, pelo critério de Cauchy para séries

numéricas, dado > 0 existe um natural n tal que, quaisquer que sejam os 0 naturais m e n

 

Temos, para todo x ∈ B e para todos m e n, com m > n > n , 0

 

e, portanto, de e da hipótese segue

 

Logo, pelo critério de Cauchy para convergência uniforme de uma série de

funções, resulta que a série converge uniformemente, em B, à função

 

■

EXEMPLO 1.

 

a) Verifique que a série é uniformemente convergente em .

b) Mostre que a função é contínua em .

Solução

a) Para todo x e para todo natural k ≥ 1

 

A série numérica é convergente. Segue do critério M de

Weierstrass que a série dada converge uniformemente em à função

 

b) Para todo x ∈ ,

 

onde Como a convergência é uniforme em e as

funções s (x) são contínuas em , segue, do Teorema 1 da Seção 6.3, que s n

= s (x) é contínua em .

■

 

EXEMPLO 2.

a) Verifique que a série converge uniformemente, em , à

função

 

b) Justifique a igualdade

 

Solução

a) Para todo x ∈ e para todo natural k ≥ 1,

 

Como é convergente, segue do critério M de Weierstrass que a

série

 

converge uniformemente, em , à função

 

b) Para todo x ∈ ,

 

Isto é,

onde Como a convergência é uniforme em , segue

 

que a convergência é, também, uniforme no intervalo [0, 1]. Como as s são n contínuas em [0, 1], resulta, do Teorema 2 da Seção 6.3,

 

De

 

segue

 

Mas,

 

Logo,

 

■

 

Observação. Sempre que dissermos que a série é uniformemente

convergente em B, isto significa que a série converge uniformemente, em B, à função

Exercícios 7.3

 

 

1. Verifique que a série dada converge uniformemente no intervalo

dado.

 

2. Mostre que a função s = s (x) dada por é contínua

em .

 

3. Seja s = s (x) dada por Prove que, para todo t ∈ ]

−1, 1[,

 

Conclua que, para todo x ∈ ] −1, 1[,

4. Suponha que é uniformemente convergente em B à função

Seja g: B→ tal que, para todo x ∈ B, |g (x) ≤ M,

onde M > 0 é um real fixo. Prove que converge

uniformemente em B à função h (x) = s (x) g (x).

5. Seja a , k ≥ 1, uma sequência numérica dada. Suponha que a série k

cos nx convirja uniformemente em [ −π, π]. Seja

Prove que, para todo natural k ≥ 1,

 

6. Sejam a , k ≥ 0, e b , k ≥ 1, duas sequências numéricas dadas. k k

Suponha que a série

 

convirja uniformemente em [−π, π]. Seja

 

Prove que

 

e

7. Seja f definida e integrável em [−π, π]. A série

 

onde

 

e

 

denomina-se série de Fourier de f. Os números a , n ≥ 0 e b , n ≥ 1, n n são os coeficientes de Fourier de f. Determine a série de Fourier da função dada e verifique que a série obtida converge uniformemente em .

 

8. 2 Seja f (x) definida e de classe C em [−π, π]. Para cada natural n ≥ 1,

seja

 

a) Verifique que, para todo natural n ≥ 1,