3.4 Critérios da razão e da raiz

e, portanto, para k ≥ q, . Logo, para k ≥ q, a 2.ª

 

desigualdade do item a se verifica.

c) Fica para o leitor. (Veja referência bibliográfica 14.)

■

 

3.4. CRITÉRIOS DA RAZÃO E DA RAIZ

 

Critério da razão. Seja a série , com a > 0 para todo k ≥ q, k

onde q é um natural fixo. Suponhamos que exista,

finito ou infinito. Seja

 

Então,

 

a) é convergente.

 

b) é divergente.

 

c) Se L = 1, o critério nada revela.

Demonstração

Veja final da seção.

■

 

EXEMPLO 1. A série é convergente ou divergente? Justifique.

 

Solução

Como , temos

 

Segue que

 

Pelo critério da razão, a série é convergente.

 

■

 

EXEMPLO 2. Mostre que a série

é divergente.

Solução

 

Segue que

 

Pelo critério da razão, a série é divergente.

■

 

EXEMPLO 3. Mostre que a série é divergente.

 

Solução

 

ou seja,

Segue que

 

 

Pelo critério da razão, a série é divergente.

■

 

EXEMPLO 4. Mostre que

 

Solução

 

Se a série for convergente, então teremos necessariamente

(Veja teorema da Seção 2.3.) Vamos, então, provar que tal

série é convergente.

 

Segue que

 

Pelo critério da razão, a série é convergente. Logo,

EXEMPLO 5. Mostre que a série é divergente.

 

 

Solução

 

ou seja,

 

Assim,

 

O critério da razão nada revela. A série poderá ser convergente ou não. Vejamos o que realmente acontece. (Vamos utilizar a seguir o Exemplo 6 da Seção 3.1.)

 

Como

e a série é divergente, resulta que a série dada é divergente.

 

(Observe que

 

Deixamos a seu cargo a tarefa de criar uma série que seja

convergente e tal que

 

Critério da raiz. Seja a série , com a > 0 para todo k ≥ q, k onde q é um natural fixo. Suponhamos que exista, finito

ou infinito. Seja

 

Então

a) é convergente.

 

b) L > 1 ou é divergente.

 

c) L = 1 o critério nada revela.

Demonstração

Veja final da seção.

■

 

EXEMPLO 6. A série é convergente ou divergente? Justifique.

 

Solução

Vamos aplicar o critério da raiz. Temos

 

pois Logo, a série é convergente.

 

■

 

Observação. Seja a série , com a > 0. Se ocorrer n , o critério da razão não decide se a série é ou não convergente. Conforme Exercício 6, 1.1, se então teremos, também Isto significa que se

, o critério da raiz nada revela, também, sobre a

convergência ou divergência da série.

Para finalizar a seção, vamos demonstrar os critérios da razão e da raiz.

Demonstração do critério da razão

a) Tomemos r tal que L < r < 1. Segue que existe um natural p ≥ q tal que, para k ≥ p,

 

Pelo Exemplo 1 da seção anterior, a série é convergente.

b) Segue da hipótese que existe um natural p ≥ q tal que, para k ≥ p,

. Pelo Exemplo 2 da seção anterior, a série é divergente.

 

c) É só observar que , e

lembrar que

 

■

 

Demonstração do critério da raiz

a) Tomando-se r tal que L < r < 1, existe um natural p ≥ q tal que, para k ≥ p, k e, portanto, a < r. A convergência da série segue por

k

comparação com a série geométrica

b) e c) ficam para o leitor.

■

 

Exercícios 3.4

 

1. É convergente ou divergente? Justifique.

 

2. Prove que, para todo a > 0, a série é convergente. Conclua

que

 

3. Determine x > 0 para que a série seja convergente.

4. Prove que, para todo natural n ≥ 1,

 

Conclua que, para todo n ≥ 1, (n − 1)!e n n n ≥ en ≥ n!e.

5. Prove que a série é divergente.

 

(Sugestão: Utilize a desigualdade enn n ≤ n!e do Exercício 4.)

6. Determine x > 0 para que a série seja convergente.

 

7. Considere a série , com a > 0 para todo n ≥ 1. Suponha que n

exista um número real t positivo, com t < 1, tal que, para todo n ≥ 1,

 

Prove que a série é convergente.

 

8. Considere a série , onde a é a sequência que começa com a e n

cada termo é obtido multiplicando o anterior alternadamente por b ou por a: a, ab, a2 2 2 3 2 3 3 b, a b , a b , a b, … com 0 < a < b < 1.

a) Prove que não existe.

b) Utilizando o Exercício 7, mostre que a série é convergente.

c) Mostre que, para todo . Conclua desta

desigualdade a convergência da série.