O Centro de Gravidade

3. O momento linear do corpo deve ser nulo.

Teste 1

A figura mostra seis vistas superiores de uma barra homogênea sobre a

qual duas ou mais forças atuam perpendicularmente à maior dimensão

da barra. Se os módulos das forças são ajustados adequadamente (mas

mantidos diferentes de zero), em que situações a barra pode estar em

equilíbrio estático?

O Centro de Gravidade

A força gravitacional que age sobre um corpo é a soma vetorial das forças gravitacionais que agem sobre todos os elementos (átomos) do corpo. Em vez de considerar todos esses elementos, podemos dizer o seguinte:

A força gravitacional age efetivamente sobre um único ponto de um g

corpo, o chamado centro de gravidade (CG) do corpo.

A palavra “efetivamente” significa que, se as forças que agem sobre os elementos do corpo fossem de alguma forma desligadas e uma força aplicada ao centro de gravidade fosse ligada, a força resultante e o torque resultante (em relação a qualquer ponto) seriam os mesmos.

Até agora, supusemos que a força gravitacional era aplicada ao centro de

massa (CM) do corpo. Isso equivale a supor que o centro de gravidade coincide com o centro de massa. Lembre-se de que, para um corpo, de massa M, a força é igual a M em que é a aceleração que a força produziria se o g

corpo estivesse em queda livre. Na demonstração a seguir, provamos que

Se é igual para todos os elementos de um corpo, o centro de gravidade

(CG) do corpo coincide com o centro de massa (CM).

A hipótese anterior é aproximadamente verdadeira para os objetos comuns, já que varia muito pouco na superfície terrestre e diminui apenas ligeiramente com a altitude. Assim, no caso de objetos como um rato ou um boi, podemos supor que a força gravitacional age no centro de massa. Após a demonstração a seguir, passaremos a usar essa hipótese.

Figura 12-4  (a) Um elemento de massa m em um corpo de dimensões finitas. A força gravitacional i

gi a que o elemento está submetido tem um braço de alavanca x em relação à origem O do sistema de i coordenadas. (b) Dizemos que a força gravitacional g a que um corpo está submetido age sobre o g

centro de gravidade (CG) do corpo. Neste caso, o braço de alavanca de é x em relação à origem g CG O.

Demonstração

Vamos considerar primeiro os elementos do corpo. A Fig. 12-4a mostra um corpo, de massa M, e um dos elementos do corpo, de massa m . Uma força i gravitacional age sobre o elemento e é igual a m . O índice de significa g i i i que é a aceleração da gravidade na posição do elemento i (ela pode ser i

diferente para outros elementos).

Na Fig. 12-4a, cada força produz um torque τ sobre o elemento i em gi i

relação à origem O, com braço de alavanca x . Usando a Eq. 10-41 (τ = r F), i ⊥ podemos escrever o torque τ na forma i

O torque resultante para todos os elementos do corpo é, portanto,

Vamos agora considerar o corpo como um todo. A Fig. 12-4b mostra a

força gravitacional atuando no centro de gravidade do corpo. A força g

produz um torque τ sobre o corpo em relação a O, com um braço de alavanca x . Usando novamente a Eq. 10-41, podemos escrever o torque na forma CG

Como a força gravitacional a que o corpo está submetido é igual à soma g

das forças gravitacionais que agem sobre todos os elementos, podemos gi

substituir F por ΣF na Eq. 12-12 e escrever g gi

Acontece que o torque produzido pela aplicação da força ao centro de g

gravidade é igual ao torque resultante das forças aplicadas a todos os gi

elementos do corpo. (Foi assim que definimos o centro de gravidade.) Assim, τ na Eq. 12-13 é igual a τ na Eq. 12-11. Combinando as duas equações, res

podemos escrever

x ∑F = ∑x F . CG gi i gi

Substituindo F por m g , obtemos gi i i

Vamos agora usar uma ideia-chave: Se as acelerações g para todos os i elementos são iguais, podemos cancelar g na Eq. 2-14 e escrever i

Como a soma Σm das massas dos elementos é a massa M do corpo, podemos i

escrever a Eq. 12-15 como O lado direito da Eq. 12-16 é a coordenada x do centro de massa do corpo CM