Os Calores Específicos Molares de um Gás Ideal

• Se um gás ideal confinado sofre uma variação de temperatura ΔT devido a qualquer processo, a variação da energia interna do gás é dada por

 

ΔE = nC ΔT (gás ideal, qualquer processo). int v

 

Os Calores Específicos Molares de um Gás Ideal Neste módulo, vamos obter, a partir de considerações a respeito do movimento das moléculas, uma expressão para a energia interna E de um int gás ideal. Em outras palavras, vamos obter uma expressão para a energia associada aos movimentos aleatórios dos átomos ou moléculas de um gás. Em seguida, usaremos essa expressão para calcular os calores específicos molares de um gás ideal.

 

Energia Interna Eint

Vamos, inicialmente, supor que o gás ideal é um gás monoatômico (formado por átomos isolados e não por moléculas), como o hélio, o neônio e o argônio. Vamos supor também que a energia interna E do gás é int simplesmente a soma das energias cinéticas de translação dos átomos. (De acordo com a teoria quântica, átomos isolados não possuem energia cinética de rotação.)

A energia cinética de translação média de um átomo depende apenas da

temperatura do gás e é dada pela Eq. 19-24 . Uma amostra de n

mols de um gás monoatômico contém nN átomos. A energia interna E da A int amostra é, portanto,

 

De acordo com a Eq. 19-7 (k = R/N ), a Eq. 19-37 pode ser escrita na forma A

A energia interna E de um gás ideal é função apenas da temperatura int

do gás; não depende de outras variáveis.

 

A partir da Eq. 19-38, podemos calcular o calor específico molar de um

gás ideal. Na verdade, vamos deduzir duas expressões, uma para o caso em que o volume do gás permanece constante e outra para o caso em que a pressão permanece constante. Os símbolos usados para esses dois calores específicos molares são C e C , respectivamente. (Por tradição, a letra C V P

maiúscula é usada em ambos os casos, embora C e C sejam tipos de calor V P específico e não de capacidade térmica.)

Figura 19-9  (a) A temperatura de um gás ideal é aumentada de T para T + ΔT em um processo a volume constante. É adicionado calor, mas nenhum trabalho é realizado. (b) O processo em um diagrama p-V.

 

 

Calor Específico Molar a Volume Constante

A Fig. 19-9a mostra n mols de um gás ideal a uma pressão p e a uma temperatura T, confinados em um cilindro de volume V fixo. Esse estado

inicial i do gás está assinalado no diagrama p-V da Fig. 19-9b. Suponha que adicionamos uma pequena quantidade de energia Q ao gás na forma de calor, aumentando lentamente a temperatura do recipiente. A temperatura do gás aumenta para T + ΔT e a pressão aumenta para p + Δp, levando o gás ao estado final f. Nesse tipo de experimento, observamos que o calor Q está relacionado à variação de temperatura ΔT pela equação

 

em que C é uma constante chamada calor específico molar a volume V

constante. Substituindo essa expressão de Q na primeira lei da termodinâmica, dada pela Eq. 18-26 (ΔE = Q – W), obtemos int

 

Como o volume do recipiente é constante, o gás não pode se expandir; portanto, não pode realizar trabalho. Assim, W = 0 e a Eq. 19-40 nos dá

 

De acordo com a Eq. 19-38, a variação da energia interna é

 

Substituindo esse resultado na Eq. 19-41, obtemos

 

Como se pode ver na Tabela 19-2, essa previsão da teoria cinética (para gases ideais) concorda muito bem com os resultados experimentais para gases monoatômicos reais, o caso que estamos considerando. Os valores (teóricos e experimentais) de C para gases diatômicos (com moléculas de V

dois átomos) e gases poliatômicos (com moléculas de mais de dois átomos) são maiores que para gases monoatômicos, por motivos que serão discutidos no Módulo 19-8. Por enquanto, vamos apenas adiantar que os valores de C são maiores nos gases diatômicos e poliatômicos porque as V

moléculas, ao contrário dos átomos isolados, podem girar e, portanto, além da energia cinética de translação, também possuem energia cinética de rotação. Assim, quando o calor Q é transferido para um gás diatômico ou poliatômico, apenas parte do calor se transforma em energia cinética de translação e contribui para aumentar a temperatura. (No momento, vamos ignorar a possibilidade de que parte do calor se transforme em oscilação das moléculas.)

 

Tabela 19-2  Calores Específicos Molares a Volume Constante

 

Molécula Exemplo C (J/mol · K) V

 

Monoatômica Ideal R = 12,5

 

Real He 12,5

 

Ar 12,6

 

Diatômica Ideal R = 20,8

 

Real N 20,7 2

 

O 20,8 2

 

Poliatômica Ideal 3R = 24,9

 

Real NH 29,0 4

 

CO 29,7 2

Figura 19-10  Três trajetórias representando três processos diferentes que levam um gás ideal de um estado inicial i, à temperatura T, a um estado final f, à temperatura T + ΔT. A variação ΔE da int

energia interna do gás é a mesma para os três processos e para quaisquer outros que resultem na mesma variação de temperatura.

 

Podemos agora generalizar a Eq. 19-38 para a energia interna de qualquer

gás ideal substituindo 3R/2 por C para obter V

 

A Eq. (19-44) se aplica não só a um gás ideal monoatômico mas também a gases diatômicos e poliatômicos, desde que seja usado o valor correto de C . Como na Eq. 19-38, a energia interna do gás depende da temperatura, V

mas não da pressão ou da densidade.

De acordo com a Eq. 19-41 ou a Eq. 19-44, quando um gás ideal

confinado em um recipiente sofre uma variação de temperatura ΔT, a variação resultante da energia interna é dada por

 

De acordo com a Eq. 19-45,

 

A variação da energia interna E de um gás ideal confinado depende int

apenas da variação de temperatura; não depende do tipo de processo

responsável pela variação de temperatura

 

Considere, por exemplo, as três trajetórias entre as duas isotermas no

diagrama p-V da Fig. 19-10. A trajetória 1 representa um processo a volume constante. A trajetória 2 representa um processo a pressão constante (que será discutido a seguir). A trajetória 3 representa um processo no qual nenhum calor é trocado com o ambiente (esse caso será discutido no Módulo 19-9). Embora sejam diferentes os valores do calor Q e do trabalho W associados a essas três trajetórias, o que também acontece com p e V , os f f valores de ΔE associados às três trajetórias são iguais e são dados pela Eq. int

19-45, uma vez que envolvem a mesma variação de temperatura ΔT. Assim, independentemente da trajetória seguida entre T e T + ΔT, podemos sempre usar a trajetória 1 e a Eq. 19-45 para calcular ΔE com mais facilidade. int

 

Figura 19-11  (a) A temperatura de um gás ideal é aumentada de T para T + ΔT em um processo a pressão constante. É adicionado calor e é realizado trabalho para levantar o êmbolo. (b) O processo em um diagrama p-V. O trabalho pΔV é dado pela área sombreada.

 

Calor Específico Molar a Pressão Constante Vamos supor agora que a temperatura de nosso gás ideal aumenta do mesmo valor ΔT, mas agora a energia necessária (o calor Q) é fornecida mantendo o gás a uma pressão constante. Uma forma de fazer isso na

prática é mostrada na Fig. 19-11a; o diagrama p-V do processo aparece na

Fig. 19-11b. A partir de experimentos como esse, constatamos que o calor Q está relacionado à variação de temperatura ΔT pela equação

 

em que C é uma constante chamada de calor específico molar a pressão p

constante. O valor de C é sempre maior que o do calor específico molar a p

volume constante C , já que, nesse caso, a energia é usada não só para V

aumentar a temperatura do gás, mas também para realizar trabalho (levantar

o êmbolo da Fig. 19-11a).

Para obter uma relação entre os calores específicos molares C e C , p V

começamos com a primeira lei da termodinâmica (Eq. 18-26):

 

Em seguida, substituímos os termos da Eq. 19-47 por seus valores. O valor de E é dado pela Eq. 19-45. O valor de Q é dado pela Eq. 19-46. Para int

obter o valor de W, observamos que, como a pressão permanece constante, W = pΔV (Eq. 19-16). Assim, usando a equação dos gases ideais (pV = nRT), podemos escrever

 

Fazendo essas substituições na Eq. 19-47 e dividindo ambos os membros por n ΔT, obtemos

 

C = C – R V p

OceanofPDF.com

Figura 19-12  Valores relativos de Q para um gás monoatômico (lado esquerdo) e para um gás diatômico (lado direito) submetidos a processos a pressão constante e a volume constante. A transferência de energia para trabalho W e energia interna ΔE está indicada esquematicamente. int

 

e, portanto,

 

Essa previsão da teoria cinética dos gases está de acordo com os resultados experimentais, não só para gases monoatômicos, mas para gases em geral, desde que estejam suficientemente rarefeitos para poderem ser tratados como ideais.

O lado esquerdo da Fig. 19-12 mostra os valores relativos de Q para um gás monoatômico

submetido a um aquecimento a volume constante e a uma pressão constante

. Observe que, no segundo caso, o valor de Q é maior por causa de W, o

trabalho realizado pelo gás durante a expansão. Observe também que, no aquecimento a volume constante, a energia fornecida na forma de calor é usada apenas para aumentar a energia interna, enquanto no aquecimento a pressão constante, a energia fornecida na forma de calor é repartida entre a energia interna e o trabalho.

 

Teste 4

A figura mostra cinco trajetórias de um gás em um diagrama p-V. Ordene as trajetórias

de acordo com a variação da energia interna do gás, em ordem decrescente.

 

Exemplo 19.07 Calor, energia interna e trabalho para

um gás monoatômico

Uma bolha de 5,00 mols de hélio está submersa em água a uma dada profundidade

quando a água (e, portanto, o hélio) sofre um aumento de temperatura ΔT de 20,0C° a

pressão constante. Em consequência, a bolha se expande. O hélio é monoatômico e se

comporta como um gás ideal.

(a) Qual é a energia recebida pelo hélio na forma de calor durante esse aumento de

temperatura acompanhado por expansão?

IDEIA-CHAVE

A quantidade de calor Q está relacionada à variação de temperatura ΔT pelo calor

específico molar do gás.

 

Cálculos: Como a pressão p é mantida constante durante o processo de

aquecimento, devemos usar o calor específico molar a pressão constante C e a Eq. 19-p

46,

 

para calcular Q. Para calcular Cp, usamos a Eq. 19-49, segundo a qual, para qualquer

gás ideal, C p = CV + R. Além disso, de acordo com a Eq. 19-43, para qualquer gás

monoatômico (como o hélio, neste caso), . Assim, a Eq. 19-50 nos dá

 

(b) Qual é a variação ΔE int da energia interna do hélio durante o aumento de

temperatura?

 

IDEIA-CHAVE

Como a bolha se expande, não se trata de um processo a volume constante. No entanto,

o hélio está confinado (à bolha). Consequentemente, a variação ΔE é a mesma que int

ocorreria em um processo a volume constante com a mesma variação de temperatura

ΔT.

 

Cálculo: Podemos calcular facilmente a variação ΔEint a volume constante usando a

Eq. 19-45:

 

(c) Qual é o trabalho W realizado pelo hélio ao se expandir contra a pressão da água em

volta da bolha durante o aumento de temperatura?

 

IDEIAS-CHAVE

O trabalho realizado por qualquer gás que se expande contra a pressão do ambiente é

fornecido pela Eq. 19-11, segundo a qual devemos integrar o produto pdV. Quando a

pressão é constante (como neste caso), a equação pode ser simplificada para W = pΔV.

Quando o gás é ideal (como neste caso), podemos utilizar a lei dos gases ideais (Eq. 19-

5) para escrever pΔV = nRΔT.