Revisão e Resumo

Quando a luz passa nas vizinhanças da Terra, a trajetória da luz se

encurva ligeiramente por causa da curvatura do espaço, um efeito conhecido como lente gravitacional. Quando a luz passa nas proximidades de uma estrutura maior, como uma galáxia ou um buraco negro de massa elevada, a trajetória pode se encurvar ainda mais. Se existe uma estrutura desse tipo entre nós e um quasar (uma fonte de luz extremamente brilhante e extremamente distante), a luz do quasar pode se encurvar em torno da

estrutura e convergir para a Terra (Fig. 13-20a). Assim, como a luz parece vir de direções diferentes no céu, vemos o mesmo quasar em várias posições. Em algumas situações, as imagens do quasar se juntam para formar um gigantesco arco luminoso, que recebe o nome de anel de

Einstein (Fig. 13-20b).

Devemos atribuir a gravitação à curvatura do espaço-tempo causada pela

presença de massas, a uma força entre as massas, ou será que ela se deve à ação de um tipo de partícula elementar chamado gráviton, como propõem algumas teorias da física moderna? Embora as teorias de Newton e Einstein tenham sido capazes de descrever com grande precisão a atração de corpos de todos os tamanhos, desde maçãs até planetas e estrelas, ainda não compreendemos perfeitamente a gravidade nem na escala cosmológica nem na escala da física quântica.

Revisão e Resumo

A Lei da Gravitação  Toda partícula do universo atrai as outras partículas com uma força gravitacional cujo módulo é dado por em que m e m são as massas das partículas, r é a distância entre as 1 2

partículas e G (= 6,67 × 10–11 N · m2/kg2) é a constante gravitacional.

Comportamento Gravitacional de Cascas Esféricas Homogêneas  A força gravitacional entre corpos de dimensões finitas pode ser calculada somando (integrando) as forças a que estão submetidas as partículas que compõem os corpos. Entretanto, se um dos corpos é uma casca esférica homogênea ou um corpo maciço homogêneo com simetria esférica, a força gravitacional resultante que o corpo exerce sobre um objeto externo pode ser calculada como se toda a massa da casca ou do corpo estivesse localizada no centro.

Superposição  As forças gravitacionais obedecem ao princípio da superposição: se n partículas interagem, a força resultante que age 1,res

sobre a partícula 1 é a soma das forças exercidas individualmente sobre ela pelas outras partículas:

em que o somatório é uma soma vetorial das forças exercidas sobre a 1 i

partícula 1 pelas partículas 2, 3, ... , n. A força gravitacional exercida por 1

um corpo de dimensões finitas sobre uma partícula é calculada dividindo o corpo em partículas de massa infinitesimal dm, cada uma das quais produz uma força infinitesimal d sobre a partícula, e integrando para obter a soma das forças:

Aceleração Gravitacional  A aceleração gravitacional a de uma partícula g (de massa m) se deve unicamente à força gravitacional que age sobre a partícula. Quando uma partícula está a uma distância r do centro de um corpo esférico homogêneo de massa M, o módulo F da força gravitacional que age sobre a partícula é dado pela Eq. 13-1. Assim, de acordo com a segunda lei de Newton,

o que nos dá

Aceleração de Queda Livre e Peso  Como a massa da Terra não está distribuída de modo uniforme e a Terra não é perfeitamente esférica, a aceleração da gravidade a varia ligeiramente de um ponto a outro da g

superfície terrestre. Como a Terra possui um movimento de rotação, o peso de uma partícula, mg, em que g é a aceleração de queda livre, é ligeiramente menor que o módulo da força gravitacional, dado pela Eq. 13-11.

Gravitação no Interior de uma Casca Esférica Uma casca homogênea de matéria não exerce força gravitacional sobre uma partícula localizada no interior. Isso significa que, se uma partícula estiver localizada no interior de uma esfera maciça homogênea a uma distância r do centro, a força gravitacional exercida sobre a partícula se deve apenas à massa M que se int encontra no interior de uma esfera de raio r. Essa massa é dada por

em que ρ é a massa específica da esfera, M é a massa da esfera e R é o raio da esfera. A força é dada por

Energia Potencial Gravitacional  A energia potencial gravitacional U(r) de um sistema de duas partículas, de massas M e m, separadas por uma distância r, é o negativo do trabalho que seria realizado pela força gravitacional de uma das partículas para reduzir a distância entre as partículas de uma distância infinita (um valor muito grande) para uma distância r. Essa energia é dada por

Energia Potencial de um Sistema  Se um sistema contém mais de duas partículas, a energia potencial gravitacional U é a soma dos termos que representam as energias potenciais de todos os pares de partículas. Por exemplo, para três partículas de massas m , m e m , 1 2 3

Velocidade de Escape  Um objeto escapará da atração gravitacional de um corpo celeste de massa M e raio R (isto é, atingirá uma distância infinita) se a velocidade do objeto nas vizinhanças da superfície do corpo celeste for igual ou maior que a velocidade de escape, dada por

Leis de Kepler  O movimento dos satélites, tanto naturais como artificiais, obedece às três leis de Kepler, que, no caso particular dos planetas do sistema solar, podem ser enunciadas da seguinte forma:

1. Lei das órbitas. Todos os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.

2. Lei das áreas. A reta que liga qualquer planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. (Essa lei é equivalente à lei de conservação do momento angular.)

3. Lei dos períodos. O quadrado do período T de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior a da órbita:

em que M é a massa do Sol.

Energia do Movimento Planetário  Quando um planeta ou satélite, de massa m, se move em uma órbita circular de raio r, a energia potencial U e a energia cinética K são dadas por

A energia mecânica E = K + U é, portanto,

No caso de uma órbita elíptica de semieixo maior a,