Gravitação e o Princípio da Superposição

Gravitação e o Princípio da Superposição Dado um grupo de partículas, podemos determinar a força gravitacional, a que uma das partículas está submetida devido à presença das outras, usando o princípio da superposição. Trata-se de um princípio segundo o qual, em muitas circunstâncias, um efeito total pode ser calculado somando efeitos parciais. No caso da gravitação, esse princípio pode ser aplicado, o que significa que podemos calcular a força total a que uma partícula está submetida somando vetorialmente as forças que todas as outras partículas exercem sobre ela.

Vamos chamar a atenção para dois pontos importantes da última

sentença, que talvez tenham passado despercebidos. (1) Uma vez que as forças são vetores e podem estar sendo aplicadas em diferentes direções, elas devem ser somadas vetorialmente. (Se duas pessoas puxam você em direções opostas, a força total que elas exercem é obviamente diferente da força a que você seria submetido se elas estivessem puxando você na mesma direção.) (2) As forças exercidas pelas diferentes partículas podem ser somadas. Imagine como seria difícil calcular a força resultante se ela dependesse de um fator multiplicativo que variasse de força para força, ou se a presença de uma força afetasse de alguma forma a intensidade das outras forças. Felizmente, o cálculo da força resultante envolve apenas uma soma vetorial das forças envolvidas.

No caso de n partículas, a aplicação do princípio da superposição às

forças gravitacionais que agem sobre a partícula 1 permite escrever

Aqui, é a força resultante a que está submetida a partícula 1 e, por 1,res

exemplo, é a força exercida pela partícula 3 sobre a partícula 1. 13

Podemos expressar a Eq. 13-4 de forma mais compacta por meio de um somatório:

Objetos Reais. O que dizer da força gravitacional que um objeto real (de

dimensões finitas) exerce sobre uma partícula? Essa força pode ser calculada dividindo o objeto em partes suficientemente pequenas para serem tratadas como partículas e usando a Eq. 13-5 para calcular a soma vetorial das forças exercidas pelas partes sobre a partícula. No caso-limite, podemos dividir o objeto de dimensões finitas em partes infinitesimais de massa dm; cada uma delas exerce uma força infinitesimal d : sobre a partícula. Nesse limite, o somatório da Eq. 13-5 se torna uma integral e temos

em que a integração é realizada para todo o objeto e omitimos o índice “res”. Se o objeto é uma casca esférica homogênea, podemos evitar a integração da Eq. 13-6 supondo que toda a massa está no centro do objeto e usando a Eq. 13-1.

Teste 2

A figura mostra quatro arranjos de partículas de mesma massa. (a)

Ordene os arranjos de acordo com o módulo da força gravitacional a

que está submetida a partícula m, começando pelo maior. (b) No

arranjo 2, a direção da força resultante está mais próxima da reta de

comprimento d ou da reta de comprimento D?

Exemplo 13.01 Força gravitacional

resultante para três partículas no mesmo plano

A Fig. 13-4a mostra um arranjo de três partículas: a partícula 1, de

massa m = 6,0 kg, e as partículas 2 e 3, de massa m = m = 4,0 kg; a = 1 2 3

2,0 cm. Qual é a força gravitacional resultante que as outras 1,res

partículas exercem sobre a partícula 1?

IDEIAS-CHAVE

(1) O módulo da força gravitacional que cada uma das outras

partículas exerce sobre a partícula 1 é dado pela Eq. 13-1 (F =

Gm m /r2). (2) A direção da força gravitacional é a da reta que liga 1 2

cada partícula à partícula 1. (3) Como as forças não são colineares, não

podemos simplesmente somar ou subtrair o módulo das forças para

obter a força total, mas devemos usar uma soma vetorial.

Cálculos: De acordo com a Eq. 13-1, o módulo da força que a 12

partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é dado por

Analogamente, o módulo da força que a partícula 3 exerce sobre a 13

partícula 1 é dado por

A força aponta no sentido positivo do eixo y (Fig. 13-4b) e possui 12

apenas a componente y, F ; a força aponta no sentido negativo do 12 13

eixo x e possui apenas a componente x, –F (Fig. 13-4c). (Note algo 13

importante: Desenhamos os diagramas de corpo livre com a origem

dos vetores na partícula que está sendo representada. Desenhar os

vetores em outras posições pode ser um convite para cometer erros,

especialmente em provas finais.)

Para determinar a força resultante a que está submetida a 1,res

partícula 1, devemos calcular a soma vetorial das duas forças (Figs.

13-4d e 13-4e). Isso poderia ser feito usando uma calculadora.

Acontece, porém, que –F e F podem ser vistas como as 13 12

componentes x e y de ; portanto, podemos usar a Eq. 3-6 para 1,res

determinar o módulo e a orientação de . O módulo é 1,res

A Eq. 3-6 nos dá a orientação de em relação ao semieixo positivo 1,res

como

Esse resultado (Fig. 13-4f) é razoável? Não, já que a orientação de 1,res

deve estar entre as orientações de e . Como vimos no Capítulo 3, 12 13

as calculadoras mostram apenas um dos dois valores possíveis da

função tan–1. Para obter o outro valor, somamos 180o:

que é (Fig. 13-4g) uma orientação razoável de . 1,res