A Energia do Movimento Harmônico Simples

A Energia do Movimento Harmônico Simples Vimos, no Capítulo 8, que a energia de um oscilador linear é transformada repetidamente de energia cinética em energia potencial, e vice-versa, enquanto a soma das duas — a energia mecânica E do oscilador — permanece constante. A energia potencial de um oscilador linear como o da

Fig. 15-7 está inteiramente associada à mola; seu valor depende do grau de alongamento ou compressão da mola, ou seja, de x(t). Podemos usar as Eqs. 8-11 e 15-3 para obter a seguinte expressão para a energia potencial:

Atenção: A notação cos2 A (usada na Eq. 15-18) significa (cos A)2 e não é equivalente a cos A2, que significa cos (A2).

A energia cinética do sistema da Fig. 15-7 está inteiramente associada ao

bloco; seu valor depende da rapidez com a qual o bloco está se movendo, ou seja, de v(t). Podemos usar a Eq. 15-6 para obter a seguinte expressão para a energia cinética:

Usando a Eq. 15-12 para substituir v2 por k/m, podemos escrever a Eq. 15-19 na forma

De acordo com as Eqs. 15-18 e 15-20, a energia mecânica é dada por

Para qualquer ângulo α,

cos2 α + sen2 α = 1.

Assim, a grandeza entre colchetes é igual a 1 e temos

Isso mostra que a energia mecânica de um oscilador linear é, de fato, constante e independente do tempo. A energia potencial e a energia cinética

de um oscilador linear são mostradas em função do tempo t na Fig. 15-8a e

em função do deslocamento x na Fig. 15-8b. Agora podemos entender por que um sistema oscilatório normalmente contém um elemento de elasticidade e um elemento de inércia: o primeiro armazena energia potencial e o segundo armazena energia cinética.

Figura 15-8  (a) Energia potencial U(t), energia cinética K(t) e energia mecânica E em função do tempo t para um oscilador harmônico linear. Observe que todas as energias são positivas e que a energia potencial e a energia cinética passam por dois máximos em cada período. (b) Energia potencial U(x), energia cinética K(x) e energia mecânica E em função da posição x para um oscilador harmônico linear de amplitude x . Para x = 0, a energia é toda cinética; para x = ±x , é toda m m potencial.

Teste 4

Na Fig. 15-7, o bloco possui uma energia cinética de 3 J e a mola

possui uma energia potencial elástica de 2 J quando o bloco está em x

= +2,0 cm. (a) Qual é a energia cinética do bloco quando está em x =

0? Qual é a energia potencial elástica da mola quando o bloco está em

(b) x = –2,0 cm e (c) x = –x ? m

Exemplo 15.03 Energia potencial e energia

cinética do MHS de amortecedores de massa

Muitos edifícios altos possuem amortecedores de massa, cuja

finalidade é evitar que os edifícios oscilem excessivamente por causa

do vento. Em muitos casos, o amortecedor é um grande bloco instalado

no alto do edifício, que oscila na extremidade de uma mola, movendo-

se em um trilho lubrificado. Quando o edifício se inclina em uma

direção (para a direita, por exemplo), o bloco se move na mesma

direção, mas com certo retardo, de modo que, quando o bloco

finalmente oscila para a direita, o edifício está se inclinando para a

esquerda. Assim, o movimento do bloco está sempre defasado em

relação ao movimento do edifício.

Vamos supor que o bloco possui uma massa m = 2,72 × 105 kg e que

foi projetado para oscilar com uma frequência f = 10,0 Hz e com uma

amplitude x = 20,0 cm. m

(a) Qual é a energia mecânica total E do sistema massa-mola?

IDEIA-CHAVE

A energia mecânica E (a soma da energia cinética do bloco

com a energia potencial da mola) é constante durante o

movimento do oscilador. Assim, podemos escolher qualquer posição

do bloco para calcular o valor de E.

Cálculos: Como foi dada a amplitude x das oscilações, vamos m

calcular o valor de E quando o bloco está na posição x = x com v = 0. m

Para determinar o valor de U nesse ponto, precisamos calcular

primeiro o valor da constante elástica k. De acordo com a Eq. 15-12

e a Eq. 15-5 (ω = 2πf), temos:

Podemos agora calcular E:

(b) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio?

Cálculos: Estamos interessados em calcular a velocidade no ponto

x = 0, em que a energia potencial é e a energia mecânica

total é igual à energia cinética. Sendo assim, podemos escrever

ou

Como, nesse ponto, toda a energia do sistema foi transformada em

energia cinética, essa é a velocidade máxima v . m 15-3 O OSCILADOR HARMÔNICO ANGULAR